Il corso si propone di approfondire lo studio dell’analisi moderna iniziato nei corsi precedenti. Lo studente acquisirà una conoscenza operativa dei metodi dell’analisi avanzata. Conoscerà gli enunciati e le dimostrazioni principali, e sarà in grado di risolvere esercizi, anche di natura teorica, relativi agli argomenti trattati. Avrà inoltre acquisito un bagaglio di tecniche dimostrative che potrà utilizzare per riconoscere la validità di ragionamenti matematici, anche sofisticati, e per dimostrare autonomamente risultati collegati a quelli presentati durante il corso. Infine sarà in grado di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso.
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di analisi matematica 1, 2 e 3, algebra lineare e geometria, geometria 1.
Metodi didattici
Lezioni frontali: 64 ore
Verifica Apprendimento
- Esercizi a casa che verificano l'acquisizione di una conoscenza operativa delle materia e la capacità di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di applicare le tecniche illustrate a lezione per produrre autonomamente dimostrazioni simili a quelli visti a lezione;
- Esame orale finale orale dedicato alla discussione degli esercizi svolti e alla dimostrazione di alcuni teoremi visti a lezione. In questa parti si verifica la conoscenza approfondita degli argomenti svolti a lezione, e la capacita' di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di riconoscere la validita' di ragionamenti matematici anche sofisticati
Contenuti
Spazi di Hilbert. Perpendicolarità, e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale dgli spazi di Hilbert. Basi ortonormali in L2(-\pi,\pi). Polinomi trigonometrici e serie di Fourier sul toro. Teoria L2: disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval e Plancherel. Convergenza puntuale. Disuguaglianza isoperimetrica in R2. Differenziazione di Lebesgue: differenziazione di funzioni monotone, funzioni a variazione limitata, differenziazione di un integrale, e funzioni assolutamente continue, teorema di caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue. Complementi di teoria della misura: Misure di Borel, proprietà di regolarità. Teorema di Luzin Misure con segno e misure complesse: Variazione assoluta, e teoremi di decomposizione di Hahn e di Lebesgue. Teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione del duale degli Lp. Convoluzione in Rn, disuguaglianza integrale di Minkowski e teorema di Young. Nuclei regolarizzanti. Introduzione alla misura di Hausdorff.