ID:
SCC0717
Durata (ore):
64
CFU:
8
SSD:
ALGEBRA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (24/02/2025 - 13/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI
Conoscenza di alcuni concetti specifici della teoria dei gruppi: gruppi liberi e presentazioni e gruppi nilpotenti.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Al termine del corso lo studente sarà in grado di studiare le proprietà di un gruppo dato per mezzo di una presentazione. Inoltre sarà in grado di utilizzare le tecniche di calcolo di commutatori per analizzare un gruppo.
Conoscenza di alcuni concetti specifici della teoria dei gruppi: gruppi liberi e presentazioni e gruppi nilpotenti.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Al termine del corso lo studente sarà in grado di studiare le proprietà di un gruppo dato per mezzo di una presentazione. Inoltre sarà in grado di utilizzare le tecniche di calcolo di commutatori per analizzare un gruppo.
Prerequisiti
Conoscenza delle principali risultati di base della teoria dei gruppi: sottogruppi, omomorfismi, classi di coniugio, teorema di Lagrange, teoremi di isomorfismo, prodotti diretti e semidiretti, teoremi di Sylow, classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati.
Metodi didattici
Lezioni frontali. La frequenza non è obbligatoria, tuttavia la presenza in aula è estremamente utile, dato che la partecipazione attiva alle lezioni facilita il processo di apprendimento.
Le lezioni si svolgono alla lavagna. La presentazione degli argomenti è sempre accompagnata da esercizi finalizzati alla comprensione e all’applicazione delle nozioni e dei risultati presentati. La soluzione degli esercizi è presentata talvolta immediatamente e talvolta in una lezione successiva in modo che gli studenti possano provare a risolvere l’esercizio in autonomia. Durante il corso (soprattutto verso il termine) verranno proposte anche sedute di esercizi di ricapitolazione, per abituare gli studenti a scegliere il metodo e il percorso risolutivo più adatto e mettere in collegamento risultati presentati in momenti differenti del corso.
Le lezioni si svolgono alla lavagna. La presentazione degli argomenti è sempre accompagnata da esercizi finalizzati alla comprensione e all’applicazione delle nozioni e dei risultati presentati. La soluzione degli esercizi è presentata talvolta immediatamente e talvolta in una lezione successiva in modo che gli studenti possano provare a risolvere l’esercizio in autonomia. Durante il corso (soprattutto verso il termine) verranno proposte anche sedute di esercizi di ricapitolazione, per abituare gli studenti a scegliere il metodo e il percorso risolutivo più adatto e mettere in collegamento risultati presentati in momenti differenti del corso.
Verifica Apprendimento
Prova scritta individuale e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da due o tre esercizi divisi in sottoquesiti.
La prova orale si svolge immediatamente dopo lo scritto che consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.
Il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipendono dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da due o tre esercizi divisi in sottoquesiti.
La prova orale si svolge immediatamente dopo lo scritto che consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.
Il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipendono dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.
Contenuti
Congruenze in monoidi e gruppi. Relazioni e relatori.
Monoidi e gruppi liberi. Definizione e proprietà elementari. Esistenza e unicità. Teorema di Nielsen-Schreier.
Presentazioni di gruppi. Trasformazioni di Tietze. Il procedimento di Todd-Coxeter.
Gruppi nilpotenti. La serie centrale ascendente e discendente. La condizione del normalizzante. Gruppi nilpotenti finiti. Il procedimento di raccoglimento di Hall. L'algebra di Lie di un gruppo nilpotente.
Monoidi e gruppi liberi. Definizione e proprietà elementari. Esistenza e unicità. Teorema di Nielsen-Schreier.
Presentazioni di gruppi. Trasformazioni di Tietze. Il procedimento di Todd-Coxeter.
Gruppi nilpotenti. La serie centrale ascendente e discendente. La condizione del normalizzante. Gruppi nilpotenti finiti. Il procedimento di raccoglimento di Hall. L'algebra di Lie di un gruppo nilpotente.
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Il docente è disponibile per rispondere a brevi domande, subito prima o subito dopo ciascuna lezione. Per spiegazioni individuali più approfondite, il docente riceve gli studenti su appuntamento che può essere fissato o direttamente al termine di una lezione o per email (valerio.monti@uninsubria.it).
Il sito del corso (algebrainsubria.altervista.org) riporta varie informazioni utili e viene aggiornato regolarmente anche durante lo svolgimento del corso.
Il corso è rivolto a studenti della Laurea Magistrale in Matematica; gli studenti della Laurea Triennale in Matematica possono mutuarlo come "Istituzioni di Algebra Superiore"
Il sito del corso (algebrainsubria.altervista.org) riporta varie informazioni utili e viene aggiornato regolarmente anche durante lo svolgimento del corso.
Il corso è rivolto a studenti della Laurea Magistrale in Matematica; gli studenti della Laurea Triennale in Matematica possono mutuarlo come "Istituzioni di Algebra Superiore"
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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