SCC0052 - GEOMETRIA 1

insegnamento

ID:

SCC0052

Durata (ore):

72

CFU:

SSD:

GEOMETRIA

Anno:

2024

Periodo di attività

Primo Semestre (23/09/2024 - 17/01/2025)

Obiettivi Formativi

L'obiettivo di questo insegnamento è duplice. Da una parte si intende fornire agli studenti una buona conoscenza dei concetti e metodi di Topologia Generale, anche con riguardo allo studio delle proprietà principali degli spazi topologici quali connessione e compattezza. Dall’altra si intende introdurre lo studente alle basi della Topologia Algebrica, attraverso lo studio del concetto di omotopia e della nozione di gruppo fondamentale di uno spazio.

RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI:

Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1. comprendere i concetti di continuità tra spazi topologici,
2. discutere la connessione, la compattezza e le proprietà di numerabilità di spazi topologici
3. riconoscere in casi concreti la validità delle principali proprietà topologiche di uno spazio e la continuità di mappe tra spazi
4. approfondire alcuni concetti basilari di Topologia Algebrica: in particolare omotopia, retrazione e tecniche di calcolo basilari per il gruppo fondamentale di uno spazio.

Prerequisiti

E' consigliabile aver seguito almeno (e sostenuto gli esami di): Algebra Lineare e Geometria, Algebra 1, Analisi 1.

Metodi didattici

Lezioni teoriche (frontali) ed esercitazioni.

Delle sei ore settimanali, quattro vengono dedicate alle lezioni teoriche mentre due sono dedicate alla discussione di esercizi o temi più specifici. Queste sessioni di esercitazioni sono prevalentemente focalizzate sulla risoluzione di problemi e sull'approfondimento di argomenti particolari introdotti nelle lezioni teoriche; gli studenti hanno comunque la possibilità di chiedere chiarimenti o ulteriori spiegazioni in merito al contenuto delle lezioni teoriche. Al fine di promuovere la partecipazione attiva alle esercitazioni, si invitano gli studenti che lo desiderano a presentare le proprie soluzioni agli esercizi durante le esercitazioni.

Verifica Apprendimento

Esame scritto e orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da un certo numero di esercizi (tipicamente quattro, ciascuno dei quali articolato in diversi punti).
Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale.
Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 16/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.

Contenuti

Topologia generale:
Spazi topologici e applicazioni continue. Basi per uno spazio topologico. Topologia di sottospazio. Parte interna, chiusura, frontiera di un sottoinsieme e loro proprietà.
Numerabilità e assiomi di separazione.
Spazi metrici e topologie metrizzabili.
Topologia prodotto.
Topologia quoziente. Azioni di gruppo su uno spazio topologico. Spazi proiettivi.
Connessione e connessione per archi.
Compattezza.
Compattificazioni di spazi topologici.

Elementi di topologia algebrica:
Omotopia di funzioni e retratti di deformazione. Equivalenza omotopica di spazi topologici.
Gruppo fondamentale di uno spazio puntato.
Il gruppo fondamentale della circonferenza.
Una versione semplificata del teorema di Seifert Van Kampen. Applicazione: il gruppo fondamentale delle sfere