ID:
SCC0055
Durata (ore):
64
CFU:
8
SSD:
GEOMETRIA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (24/02/2025 - 13/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI.
L’insegnamento intende fornire una introduzione elementare a concetti della geometria differenziale attraverso lo sviluppo della teoria classica delle curve e delle superfici immerse nello spazio tridimensionale euclideo. Per sua natura, il corso consente di mettere all’opera quasi tutti gli strumenti matematici acquisiti dagli studenti fino a quel momento. I concetti introdotti in questo sono basilari per studi successivi di geometria e topologia algebrica, nonché di fisica matematica e fisica teorica.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1. comprendere le nozioni fondamentali della teoria delle curve parametrizzate in spazi euclidei.
2. illustrare sia gli aspetti locali che globali della loro geometria estrinseca.
3. sviluppare invarianti delle curve indipendenti dalla parametrizzazione.
4. comprendere la teoria dell'integrazione sulle superfici, presentando alcune applicazioni geometriche
5. sviluppare, attraverso l'esercizio su esempi concreti, l'abilità di calcolo delle principali grandezze che descrivono la geometria locale di una superficie, come la curvatura Gaussiana.
6. Calcolare invarianti topologici globali come la caratteristica di Eulero
L’insegnamento intende fornire una introduzione elementare a concetti della geometria differenziale attraverso lo sviluppo della teoria classica delle curve e delle superfici immerse nello spazio tridimensionale euclideo. Per sua natura, il corso consente di mettere all’opera quasi tutti gli strumenti matematici acquisiti dagli studenti fino a quel momento. I concetti introdotti in questo sono basilari per studi successivi di geometria e topologia algebrica, nonché di fisica matematica e fisica teorica.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI
Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di:
1. comprendere le nozioni fondamentali della teoria delle curve parametrizzate in spazi euclidei.
2. illustrare sia gli aspetti locali che globali della loro geometria estrinseca.
3. sviluppare invarianti delle curve indipendenti dalla parametrizzazione.
4. comprendere la teoria dell'integrazione sulle superfici, presentando alcune applicazioni geometriche
5. sviluppare, attraverso l'esercizio su esempi concreti, l'abilità di calcolo delle principali grandezze che descrivono la geometria locale di una superficie, come la curvatura Gaussiana.
6. Calcolare invarianti topologici globali come la caratteristica di Eulero
Prerequisiti
Algebra lineare. Elementi di topologia generale. Calcolo su funzioni in più variabili
Metodi didattici
Le lezioni frontali e le esercitazioni saranno effettuate dal docente con uso di tablet, e le note di ogni lezione o esercitazione frontale, saranno alla fine di ogni settimana disponibili su e-learning. Verrà assegnata una lista di problemi da svolgere a casa, con suggerimenti e tracce fornite durante le esercitazioni in classe.
Verifica Apprendimento
In accordo agli obiettivi dell'insegnamento, la verifica dell'apprendimento verrà svolta attraverso:
- una prova scritta, nella quale lo studente deve mostrare di aver acquisito la capacità di verificare le proprietà principali delle superfici su esempi concreti, scelti dalla lista assegnata durante il corso. Lo scritto avrà durata due ore e consisterà in due problemi. Il voto dello scritto avrà un punteggio massimo di 16. Se si ottiene almeno 8 si può accedere all’orale.
- una prova orale, durante la quale lo studente dovrà mostrare di aver acquisito le principali nozioni e le dimostrazioni dei teoremi più rilevanti del corso. Il voto massimo dell’orale è 16. Il voto finale è dato dalla somma di voto di scritto e orale. Un voto maggiore di 30 comporta automaticamente la lode.
- una prova scritta, nella quale lo studente deve mostrare di aver acquisito la capacità di verificare le proprietà principali delle superfici su esempi concreti, scelti dalla lista assegnata durante il corso. Lo scritto avrà durata due ore e consisterà in due problemi. Il voto dello scritto avrà un punteggio massimo di 16. Se si ottiene almeno 8 si può accedere all’orale.
- una prova orale, durante la quale lo studente dovrà mostrare di aver acquisito le principali nozioni e le dimostrazioni dei teoremi più rilevanti del corso. Il voto massimo dell’orale è 16. Il voto finale è dato dalla somma di voto di scritto e orale. Un voto maggiore di 30 comporta automaticamente la lode.
Contenuti
l corso è diviso in due parti: la prima è dedicata alle curve differenziabili nel piano e fornisce una panoramica di concetti e risultati che si cercherà di estendere, nella seconda parte, alle superfici differenziabili dello spazio.
A) Curve differenziabili
1) Curve lisce nello spazio e loro lunghezza. Proprietà minimizzante dei segmenti di retta.
2) Curve regolari, retta tangente e parametro d'arco.
3) Curve nello spazio, triedro di Frenet, Curvatura con segno e formule di Frenet.
4) Teoremi fondamentali della geometria globale delle curve piane.
B) Varietà differenziabili astratte ed immerse in spazi euclidei.
1) Superfici regolari dello spazio Euclideo.
2) Superfici di livello.
3) Funzioni lisce tra superfici regolari.
4) Piano tangente e differenziale di una mappa liscia.
5) Campi vettoriali su superfici, loro curve integrali
5) Prima forma fondamentale ed isometrie.
6) Orientabilità e mappa di Gauss.
7) Seconda forma fondamentale e curvature.
8) Orientabilità ed Integrazione sulle superfici compatte.
9) Parallelismo e geodetiche.
9) Teorema locale di Gauss Bonnet.
10) Triangolazioni e teorema globale di Gauss Bonnet per superfici compatte orientabili.
A) Curve differenziabili
1) Curve lisce nello spazio e loro lunghezza. Proprietà minimizzante dei segmenti di retta.
2) Curve regolari, retta tangente e parametro d'arco.
3) Curve nello spazio, triedro di Frenet, Curvatura con segno e formule di Frenet.
4) Teoremi fondamentali della geometria globale delle curve piane.
B) Varietà differenziabili astratte ed immerse in spazi euclidei.
1) Superfici regolari dello spazio Euclideo.
2) Superfici di livello.
3) Funzioni lisce tra superfici regolari.
4) Piano tangente e differenziale di una mappa liscia.
5) Campi vettoriali su superfici, loro curve integrali
5) Prima forma fondamentale ed isometrie.
6) Orientabilità e mappa di Gauss.
7) Seconda forma fondamentale e curvature.
8) Orientabilità ed Integrazione sulle superfici compatte.
9) Parallelismo e geodetiche.
9) Teorema locale di Gauss Bonnet.
10) Triangolazioni e teorema globale di Gauss Bonnet per superfici compatte orientabili.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
email:
riccardo.re AT uninsubria.it
Ricevimento per appuntamento
riccardo.re AT uninsubria.it
Ricevimento per appuntamento
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
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Docenti di ruolo di IIa fascia
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