ID:
SCC0511
Durata (ore):
64
CFU:
8
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (23/02/2026 - 12/06/2026)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Conoscenza e comprensione: Lo studente acquisirà una conoscenza operativa dei metodi dell’analisi avanzata, approfondendo quanto già appreso nei corsi precedenti. Conoscerà i principali enunciati teorici e le relative dimostrazioni, sviluppando una comprensione solida e rigorosa dei fondamenti dell’analisi moderna. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di esercizi, anche di natura teorica e astratta, relativi agli argomenti trattati nel corso. Saprà inoltre utilizzare tali competenze nell’analisi di problemi avanzati in ambito matematico. Autonomia di giudizio: Il corso fornirà allo studente un repertorio di tecniche dimostrative che gli permetteranno di valutare autonomamente la validità di ragionamenti matematici, anche complessi, e di costruire dimostrazioni rigorose di risultati collegati a quelli visti a lezione. Abilità comunicative: Lo studente sarà in grado di esprimersi con precisione e proprietà di linguaggio nell’ambito della matematica, utilizzando un linguaggio formale e rigoroso, adatto alla comunicazione di idee matematiche complesse. Capacità di apprendimento: L’approccio teorico e strutturato del corso contribuirà a sviluppare nello studente capacità di studio autonomo e di approfondimento, ponendo le basi per l’apprendimento di ulteriori concetti dell’analisi e della matematica in generale a livelli superiori.
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di analisi matematica 1, 2 e 3, algebra lineare e geometria, geometria 1.
Metodi didattici
Lezioni frontali: 64 ore Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche. Esercizi di natura teorica assegnati per compito e corretti a lezione forniranno agli studenti la capacità di applicare le tecniche dimostrative generali descritte a lezione in situazioni particolari.
Verifica Apprendimento
- Esercizi a casa che verificano l'acquisizione di una conoscenza operativa delle materia e la capacità di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di applicare le tecniche illustrate a lezione per produrre autonomamente dimostrazioni simili a quelli visti a lezione; - Esame orale finale orale dedicato alla discussione degli esercizi svolti e alla dimostrazione di alcuni teoremi visti a lezione. In questa parte si verifica la conoscenza approfondita degli argomenti svolti a lezione, la capacita' di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di riconoscere la validita' di ragionamenti matematici anche sofisticati. Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sarà la media aritmetica dei voti delle 2 parti.
Contenuti
Introduzione all'analisi funzionale. Spazi normati e spazi di Banach. Esempi. Spazi di dimensione finita. Spazi Lp. Teorema di Riesz-Fisher. Teorema di Hahn-Banach e conseguenze. Riflessività. Teoremi di Baire, di Uniforme Limitatezza, dell'Applicazione Aperta e del Grafico Chiuso e applicazioni. Topologie deboli e convergenza debole e debole stella. Teoremi di compattezza per successione nelle topologie deboli. Teorema di Banach-Alaoglu. Spazi di Hilbert. Perpendicolarità, e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale dgli spazi di Hilbert. Complementi di teoria della misura: Costruzione di misure. Misure prodotto. Il teorema di Tonelli-Fubini. Misure con segno e misure complesse: Variazione assoluta, e teoremi di decomposizione di Hahn e di Lebesgue. Teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione del duale degli Lp. La funzione massimale di Hardy-Littlewood. Differenziazione di Lebesgue: differenziazione di funzioni monotone, funzioni a variazione limitata, differenziazione di un integrale, e funzioni assolutamente continue, teorema di caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue. Convoluzione in Rn, disuguaglianza integrale di Minkowski e teorema di Young. Nuclei regolarizzanti. Introduzione alla misura di Hausdorff. Serie di Fourier: Basi ortonormali in L2(-\pi,\pi). Polinomi trigonometrici e serie di Fourier sul toro. Teoria L2: disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval e Plancherel. Convergenza puntuale: nucleo di Dirichlet. Lemma di Riemann Lebesque. Teorema di Dini. Convergenza assolute: teorema di Bernstein. Introduzione all'analisi funzionale. Spazi normati e spazi di Banach. Esempi. Spazi di dimensione finita. Spazi Lp. Teorema di Riesz-Fisher. Teorema di Hahn-Banach e conseguenze. Riflessività. Teoremi di Baire, di Uniforme Limitatezza, dell'Applicazione Aperta e del Grafico Chiuso e applicazioni. Topologie deboli e convergenza debole e debole stella. Teoremi di compattezza per successione nelle topologie deboli. Teorema di Banach-Alaoglu. Spazi di Hilbert. Perpendicolarità, e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale dgli spazi di Hilbert. Complementi di teoria della misura: Costruzione di misure. Misure prodotto. Il teorema di Tonelli-Fubini. Misure con segno e misure complesse: Variazione assoluta, e teoremi di decomposizione di Hahn e di Lebesgue. Teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione del duale degli Lp. La funzione massimale di Hardy-Littlewood. Differenziazione di Lebesgue: differenziazione di funzioni monotone, funzioni a variazione limitata, differenziazione di un integrale, e funzioni assolutamente continue, teorema di caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue. Convoluzione in Rn, disuguaglianza integrale di Minkowski e teorema di Young. Nuclei regolarizzanti. Introduzione alla misura di Hausdorff. Serie di Fourier: Basi ortonormali in L2(-\pi,\pi). Polinomi trigonometrici e serie di Fourier sul toro. Teoria L2: disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval e Plancherel. Convergenza puntuale: nucleo di Dirichlet. Lemma di Riemann Lebesque. Teorema di Dini. Convergenza assoluta: teorema di Bernstein.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per appuntamento da fissare o al termine delle lezioni o scrivendo all’indirizzo alberto.setti@uninsubria.it
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
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