ID:
SCC0003
Durata (ore):
60
CFU:
6
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (23/09/2024 - 17/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Matematica, con particolare riferimento al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale, allo studio di successioni e serie numeriche. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline scientifiche.
Lo studente conoscerà gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare e di discutere il carattere di successioni e serie numeriche; di sapere enunciare e dimostrare i principali teoremi dell'Analisi Matematica. Infine lo studente sarà in grado di riconoscere autonomamente la validità di ragionamenti matematici e di esprimersi in linguaggio matematico corretto.
Lo studente conoscerà gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare e di discutere il carattere di successioni e serie numeriche; di sapere enunciare e dimostrare i principali teoremi dell'Analisi Matematica. Infine lo studente sarà in grado di riconoscere autonomamente la validità di ragionamenti matematici e di esprimersi in linguaggio matematico corretto.
Prerequisiti
Conoscenze di base di calcolo algebrico, di trigonometria e geometria analitica.
Metodi didattici
Lezioni frontali: 24 ore
Esercitazioni: 36 ore
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche e descritte le tecniche di calcolo necessarie per l’applicazione della teoria alla risoluzione di esercizi e di problemi anche di natura pratica. Le tecniche di calcolo sono poi approfondite e consolidate durante le esercitazioni frontali dedicate alla risoluzione da parte del docente incaricato di ulteriori esercizi e problemi, anche tratti da liste di esercizi assegnati durante le lezioni o proposti dagli studenti
Esercitazioni: 36 ore
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche e descritte le tecniche di calcolo necessarie per l’applicazione della teoria alla risoluzione di esercizi e di problemi anche di natura pratica. Le tecniche di calcolo sono poi approfondite e consolidate durante le esercitazioni frontali dedicate alla risoluzione da parte del docente incaricato di ulteriori esercizi e problemi, anche tratti da liste di esercizi assegnati durante le lezioni o proposti dagli studenti
Verifica Apprendimento
L’esame e’ diviso in due parti:
-Una prova scritta che consiste nella soluzione di tre-cinque esercizi che coprono i principali argomenti studiati nel corso, e che verifica l’abilita’ degli studenti di applicare le tecniche di calcolo apprese a lezione;
-Un prova orale, che consiste nella discussione deilo e la verifica dei concetti appresi. Alla prova orale si accede avendo conseguito almeno 14 punti nella prova scritta. Il voto finale tiene conto di entrambe le prove.
-Una prova scritta che consiste nella soluzione di tre-cinque esercizi che coprono i principali argomenti studiati nel corso, e che verifica l’abilita’ degli studenti di applicare le tecniche di calcolo apprese a lezione;
-Un prova orale, che consiste nella discussione deilo e la verifica dei concetti appresi. Alla prova orale si accede avendo conseguito almeno 14 punti nella prova scritta. Il voto finale tiene conto di entrambe le prove.
Contenuti
Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione, sommatorie e somma dei primi n numeri interi. Fattoriale e coefficiente binomiale. Formula del binomio di Newton. Numeri razionali, irrazionalità di radice di due. Ordinamento e proprietà del sup e definizione assiomatica dei numeri reali. Espansioni decimali.
Generalità sulle funzioni di una variabile: dominio, immagine, iniettività e suriettività, invertibilità, monotonia e limitatezza.
Successioni reali e definizione epsilon-delta del limite. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Proprietà dei limiti: unicità, monotonia, permanenza del segno, teorema dei 2 carabinieri. Aritmetica dei limiti e forme indeterminate. Limiti e sottosuccessioni . Limiti di successioni monotone e il numero di Nepero. Criterio del rapporto per successioni. Limiti notevoli. Successioni infinite e infinitesime. La gerarchia degli infiniti. I simboli di Landau.
Serie numeriche: convergenti, divergenti e irregolari. condizione necessaria per la convergenza. La serie geometrica, serie di Mengoli e telescopiche. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a termini definitivamente dello stesso segno. Serie armonica. Criterio della radice e del rapporto; esempi. Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.
Richiami su funzioni elementari e i loro grafici. Trasformazioni, simmetrie e grafici.
Limiti di funzioni: definizione epsilon-delta e limiti successionali. Proprietà dei limiti e loro calcolo. Simboli di Landau, infinitesimi e infiniti.
Continuità: definizione epsilon-delta e continuità successionale. Proprietà aritmetiche. Continuità della funzione composta. Classificazione delle discontinuità. Continuità di funzioni definite a pezzi e estensione per continuità. Proprietà globali delle funzioni continue: teorema degli zeri e dei valori intermedi e teorema di Weierstrass. Funzioni continue invertibili.
Introduzione alle derivate. Derivabilità e continuità, regole di derivazione: della somma del prodotto del quoziente e della funzione composta. Derivazione della funzione inversa.
Massimi e minimi locali, Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Teorema di de l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor (con resto di Peano e Lagrange). Condizioni al secondo ordine per la determinazione della natura dei punti stazionari. Convessità. Studio dell’andamento del grafico di una funzione.
Introduzione all'integrale di Riemann: somme di Riemann e interpretazione geometrica, integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale di Riemann. Primitive e regole di integrazione: elementari, per sostituzione, per parti, integrazione delle funzioni razionali. Teorema della media e Teorema fondamentale del calcolo. Integrali generalizzati e funzioni integrali.
Generalità sulle funzioni di una variabile: dominio, immagine, iniettività e suriettività, invertibilità, monotonia e limitatezza.
Successioni reali e definizione epsilon-delta del limite. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Proprietà dei limiti: unicità, monotonia, permanenza del segno, teorema dei 2 carabinieri. Aritmetica dei limiti e forme indeterminate. Limiti e sottosuccessioni . Limiti di successioni monotone e il numero di Nepero. Criterio del rapporto per successioni. Limiti notevoli. Successioni infinite e infinitesime. La gerarchia degli infiniti. I simboli di Landau.
Serie numeriche: convergenti, divergenti e irregolari. condizione necessaria per la convergenza. La serie geometrica, serie di Mengoli e telescopiche. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a termini definitivamente dello stesso segno. Serie armonica. Criterio della radice e del rapporto; esempi. Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.
Richiami su funzioni elementari e i loro grafici. Trasformazioni, simmetrie e grafici.
Limiti di funzioni: definizione epsilon-delta e limiti successionali. Proprietà dei limiti e loro calcolo. Simboli di Landau, infinitesimi e infiniti.
Continuità: definizione epsilon-delta e continuità successionale. Proprietà aritmetiche. Continuità della funzione composta. Classificazione delle discontinuità. Continuità di funzioni definite a pezzi e estensione per continuità. Proprietà globali delle funzioni continue: teorema degli zeri e dei valori intermedi e teorema di Weierstrass. Funzioni continue invertibili.
Introduzione alle derivate. Derivabilità e continuità, regole di derivazione: della somma del prodotto del quoziente e della funzione composta. Derivazione della funzione inversa.
Massimi e minimi locali, Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Teorema di de l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor (con resto di Peano e Lagrange). Condizioni al secondo ordine per la determinazione della natura dei punti stazionari. Convessità. Studio dell’andamento del grafico di una funzione.
Introduzione all'integrale di Riemann: somme di Riemann e interpretazione geometrica, integrabilità delle funzioni continue. Proprietà dell'integrale di Riemann. Primitive e regole di integrazione: elementari, per sostituzione, per parti, integrazione delle funzioni razionali. Teorema della media e Teorema fondamentale del calcolo. Integrali generalizzati e funzioni integrali.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per appuntamento da fissare scrivendo all’indirizzo mail del docente.
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3 anni
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