ID:
SCC0692
Durata (ore):
80
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (23/09/2024 - 17/01/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali della Matematica, con particolare riferimento al calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale, allo studio di successioni e serie numeriche. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione delle tecniche analitiche alle altre discipline scientifiche.
Lo studente conoscerà gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare, di discutere il carattere di successioni e serie numeriche, di enunciare e dimostrare i teoremi di base dell'Analisi Matematica. Infine, lo studente sarà in grado di riconoscere autonomamente la validità di ragionamenti matematici, produrre dimostrazioni di semplici teoremi simili a quelli visti a lezione, e di esprimersi in linguaggio matematico corretto.
Lo studente conoscerà gli elementi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale per le funzioni di una variabile reale. Lo studente sarà in particolare in grado di procedere allo studio qualitativo dei grafici delle funzioni elementari, di risolvere problemi di integrazione di carattere elementare, di discutere il carattere di successioni e serie numeriche, di enunciare e dimostrare i teoremi di base dell'Analisi Matematica. Infine, lo studente sarà in grado di riconoscere autonomamente la validità di ragionamenti matematici, produrre dimostrazioni di semplici teoremi simili a quelli visti a lezione, e di esprimersi in linguaggio matematico corretto.
Prerequisiti
Conoscenze di base di calcolo algebrico, di trigonometria e geometria analitica a livello di scuola superiore.
Metodi didattici
Lezioni frontali: 56 ore, esercitazioni frontali: 24 ore
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche e descritte le tecniche di calcolo necessarie per l’applicazione della teoria alla risoluzione di esercizi e di problemi anche di natura pratica. Le tecniche di calcolo
sono poi approfondite e consolidate durante le esercitazioni frontali dedicate alla risoluzione da parte del docente incaricato di ulteriori esercizi e problemi, anche tratti da liste di esercizi assegnati durante le lezioni o proposti dagli studenti.
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche e descritte le tecniche di calcolo necessarie per l’applicazione della teoria alla risoluzione di esercizi e di problemi anche di natura pratica. Le tecniche di calcolo
sono poi approfondite e consolidate durante le esercitazioni frontali dedicate alla risoluzione da parte del docente incaricato di ulteriori esercizi e problemi, anche tratti da liste di esercizi assegnati durante le lezioni o proposti dagli studenti.
Verifica Apprendimento
L’esame è diviso in tre parti:
-Una prova scritta che consiste nella soluzione di tre-cinque esercizi che coprono i principali argomenti studiati nel corso, e che verifica l’abilità degli studenti di applicare le tecniche di calcolo apprese a lezione;
-Una seconda parte scritta che copre gli aspetti teorici del corso, consistente nell’enunciare e dimostrare alcuni dei teoremi visti nel corso, e che verifica la comprensione della teoria soggiacente, e la capacità di riprodurre una dimostrazione rigorosa, anche di semplici teoremi simili ma diversi da quelli visti a lezione, e di esprimersi in linguaggio matematico corretto;
-Una prova orale, che segue immediatamente la seconda prova scritta, che consiste nella discussione dei due scritti, dove si verifica la capacità di esprimersi in linguaggio matematico corretto e di riconoscere autonomamente la validità di un ragionamento matematico.
Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sarà la media aritmetica dei voti delle 3 parti. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 14/30 nella prima prova scritta.
-Una prova scritta che consiste nella soluzione di tre-cinque esercizi che coprono i principali argomenti studiati nel corso, e che verifica l’abilità degli studenti di applicare le tecniche di calcolo apprese a lezione;
-Una seconda parte scritta che copre gli aspetti teorici del corso, consistente nell’enunciare e dimostrare alcuni dei teoremi visti nel corso, e che verifica la comprensione della teoria soggiacente, e la capacità di riprodurre una dimostrazione rigorosa, anche di semplici teoremi simili ma diversi da quelli visti a lezione, e di esprimersi in linguaggio matematico corretto;
-Una prova orale, che segue immediatamente la seconda prova scritta, che consiste nella discussione dei due scritti, dove si verifica la capacità di esprimersi in linguaggio matematico corretto e di riconoscere autonomamente la validità di un ragionamento matematico.
Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sarà la media aritmetica dei voti delle 3 parti. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 14/30 nella prima prova scritta.
Contenuti
Insiemi numerici: numeri naturali e principio di induzione, sommatorie e somma dei primi n numeri interi. Fattoriale e coefficiente binomiale. Formula del binomio di Newton. Numeri razionali, irrazionalità di radice di due. Ordinamento e proprietà del sup e definizione assiomatica dei numeri reali. Espansioni decimali.
Numeri complessi. Forma algebrica e interpretazione geometrica. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica ed esponenziale. Radici n-esime. Equazioni in C. Teorema Fondamentale dell'Algebra.
Introduzione alla topologia della retta reale. Successioni reali e definizione epsilon-delta del limite. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Proprietà dei limiti: unicità, monotonia, permanenza del segno, teorema dei 2 carabinieri. Aritmetica dei limiti e forme indeterminate. Limiti e sottosuccessioni . Limiti di successioni monotone e il numero di Nepero. Criterio del rapporto per successioni. Limiti notevoli. Successioni infinite e infinitesime. La gerarchia degli infiniti. I simboli di Landau.
Sottosuccessioni e loro proprietà. Successioni e topologia. Il teorema di Bolzano Weierstrass. Compattezza successionale. Il teorema di Heine Borel. La condizione di Cauchy e sua equivalenza con l’esistenza di limite finito.
Serie numeriche: convergenti, divergenti e irregolari. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometriche, serie di Mengoli e telescopiche. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a termini definitivamente dello stesso segno. Serie armonica. Criterio della radice e del rapporto; esempi. Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.
Generalità sulle funzioni di una variabile: dominio, immagine, iniettività e suriettività, invertibilità, monotonia e limitatezza. Richiami su funzioni elementari e i loro grafici. Trasformazioni, simmetrie e grafici.
Limiti di funzioni: definizione epsilon-delta e limiti successionali. Proprietà dei limiti e loro calcolo. Simboli di Landau, infinitesimi e infiniti.
Continuità: definizione epsilon-delta e continuità successionale. Proprietà aritmetiche. Continuità della funzione composta. Continuità delle funzioni definite a pezzi e prolungamenti per continuità. Classificazione delle discontinuità. Continuità di funzioni definite a pezzi ed estensione per continuità.
Proprietà globali delle funzioni continue: teorema degli zeri e dei valori intermedi e teorema di Weierstrass. Continuità uniforme e teorema di Heine Cantor. Funzioni continue invertibili.
Introduzione alle derivate. Derivabilità e continuità, regole di derivazione: della somma del prodotto del quoziente e della funzione composta. Derivazione della funzione inversa.
Massimi e minimi locali, Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Teorema di de l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor (con resto di Peano e Lagrange). Condizioni al secondo ordine per la determinazione della natura dei punti stazionari. Convessità. Studio dell’andamento del grafico di una funzione.
Introduzione all'integrale di Riemann: funzioni a scala e loro integrale. Definizione di integrale di Riemann e suo significato geometrico. Condizioni necessarie e sufficienti per l’integrabilità. Proprietà dell'integrale di Riemann. Classi di funzioni integrabili. Primitive e tabella delle primitive elementari. Regole di integrazione: per sostituzione, per parti, integrazione delle funzioni razionali. Teorema della media e Teorema Fondamentale del Calcolo. Integrali generalizzati e funzioni integrali.
Numeri complessi. Forma algebrica e interpretazione geometrica. Coniugato e modulo. Forma trigonometrica ed esponenziale. Radici n-esime. Equazioni in C. Teorema Fondamentale dell'Algebra.
Introduzione alla topologia della retta reale. Successioni reali e definizione epsilon-delta del limite. Successioni convergenti, divergenti e irregolari. Proprietà dei limiti: unicità, monotonia, permanenza del segno, teorema dei 2 carabinieri. Aritmetica dei limiti e forme indeterminate. Limiti e sottosuccessioni . Limiti di successioni monotone e il numero di Nepero. Criterio del rapporto per successioni. Limiti notevoli. Successioni infinite e infinitesime. La gerarchia degli infiniti. I simboli di Landau.
Sottosuccessioni e loro proprietà. Successioni e topologia. Il teorema di Bolzano Weierstrass. Compattezza successionale. Il teorema di Heine Borel. La condizione di Cauchy e sua equivalenza con l’esistenza di limite finito.
Serie numeriche: convergenti, divergenti e irregolari. Condizione necessaria per la convergenza. Serie geometriche, serie di Mengoli e telescopiche. Criteri del confronto e confronto asintotico per serie a termini definitivamente dello stesso segno. Serie armonica. Criterio della radice e del rapporto; esempi. Serie a termini di segno qualunque: criterio della convergenza assoluta. Criterio di Leibniz.
Generalità sulle funzioni di una variabile: dominio, immagine, iniettività e suriettività, invertibilità, monotonia e limitatezza. Richiami su funzioni elementari e i loro grafici. Trasformazioni, simmetrie e grafici.
Limiti di funzioni: definizione epsilon-delta e limiti successionali. Proprietà dei limiti e loro calcolo. Simboli di Landau, infinitesimi e infiniti.
Continuità: definizione epsilon-delta e continuità successionale. Proprietà aritmetiche. Continuità della funzione composta. Continuità delle funzioni definite a pezzi e prolungamenti per continuità. Classificazione delle discontinuità. Continuità di funzioni definite a pezzi ed estensione per continuità.
Proprietà globali delle funzioni continue: teorema degli zeri e dei valori intermedi e teorema di Weierstrass. Continuità uniforme e teorema di Heine Cantor. Funzioni continue invertibili.
Introduzione alle derivate. Derivabilità e continuità, regole di derivazione: della somma del prodotto del quoziente e della funzione composta. Derivazione della funzione inversa.
Massimi e minimi locali, Teorema di Fermat, Teorema di Lagrange, criterio di monotonia, caratterizzazione delle funzioni costanti su un intervallo. Teorema di de l'Hospital. Derivate successive. Formula di Taylor (con resto di Peano e Lagrange). Condizioni al secondo ordine per la determinazione della natura dei punti stazionari. Convessità. Studio dell’andamento del grafico di una funzione.
Introduzione all'integrale di Riemann: funzioni a scala e loro integrale. Definizione di integrale di Riemann e suo significato geometrico. Condizioni necessarie e sufficienti per l’integrabilità. Proprietà dell'integrale di Riemann. Classi di funzioni integrabili. Primitive e tabella delle primitive elementari. Regole di integrazione: per sostituzione, per parti, integrazione delle funzioni razionali. Teorema della media e Teorema Fondamentale del Calcolo. Integrali generalizzati e funzioni integrali.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per appuntamento da fissare o al termine delle lezioni o scrivendo all’indirizzo alberto.setti@uninsubria.it
Corsi
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Fisica
Laurea
3 anni
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Persone
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