Il corso è una naturale continuazione del corso di analisi matematica 2. Ha lo scopo di approfondire lo studio dell'analisi classica e moderna iniziata nell'anno precedente. Lo studente acquisirà una conoscenza più avanzata dei metodi dell’analisi classica, degli enunciati e delle dimostrazioni dei principali risultati, svilupperà ulteriormente le proprie competenze e sarà in grado di risolvere esercizi, anche teorici, relativi agli argomenti trattati.
Prerequisiti
Analisi matematica 1 e 2, algebra lineare e geometria, geometria 1
Metodi didattici
Lezioni frontali in cui verranno trattati i contenuti teorici; assegnazione di fogli di esercizi da svolgere a casa, che saranno corretti sia dal docente che dal tutor.
Verifica Apprendimento
L'esame consiste di due parti: Una prova scritta della durata di 3 ore con 4/5 esercizi sui temi sviluppati nel corso in modo da verificarne il livello di competenze acquisito. Una prova orale per valutare il livello di conoscenze raggiunto, cui si accede tramite il superamento della prova scritta. Sono ammessi all’orale gli studenti che abbiano conseguito un punteggio di almeno 16/30 nella prova scritta. Durante il semestre è previsto lo svolgimento di una prova parziale. Gli studenti che totalizzeranno almeno 16/30 nella prova parziale saranno esonerati dalla parte corrispondente della prova scritta. Il voto di ammissione all’orale sarà la media ponderata del voto della prova parziale e della prova scritta. La validità di tale esonero parziale è limitata ai soli primi due appelli.
Contenuti
1) Successioni e serie di funzioni. Convergenza uniforme e totale. Teorema del doppio limite. Convergenza uniforme e differenziabilità. Serie di potenze, serie di Taylor. Funzioni analitiche reali. Teorema di Ascoli-Arzelà. 2) Equazioni differenziali ordinarie: Teorema di esistenza e unicità locale del problema di Cauchy. Il teorema dell'esistenza di Peano. Cenno al prolungamento e alle soluzioni massimali. Condizioni sufficienti per l’esistenza in grande. Equazioni di ordine n. Equazioni lineari di ordine n. Soluzioni indipendenti e spazio delle soluzioni. Studio qualitativo dell'equazione differenziale. 3) Sigma-algebre e misure. Funzioni misurabili. Integrale di funzioni positive. Teorema della convergenza monotona. Il lemma di Fatou. Funzioni integrabili. Teorema della convergenza dominata. Misura di Lebesgue in R e R^n. Misura prodotto. Teoremi di Fubini e Tonelli. Integrali dipendenti da un parametro. 4) Superfici e integrali di superficie. Flussi. La formula di Gauss-Green. Il teorema della divergenza. Il teorema di Stokes.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per chiarimenti e approfondimenti previo appuntamento da fissarsi scrivendo all’indirizzo mail marco.magliaro@uninsubria.it
