Il corso si propone di fornire un’ampia introduzione alla teoria delle categorie, settore di grande rilevanza per molti settori della matematica odierna, e di presentare le basi della teoria dei topoi e della logica categoriale. Al termine del corso ci si attende che lo studente abbia acquisito una notevole familiarità con le tecniche categoriali e le loro applicazioni in una grande varietà di situazioni matematiche.
Prerequisiti
Non è richiesta alcuna conoscenza precedente della teoria delle categorie e degli argomenti correlati. La familiarità con i contenuti dei primi due anni di una laurea in matematica è auspicabile, ma non strettamente necessaria.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni.
Verifica Apprendimento
Lo studente potrà scegliere tra due modalità d'esame alternative: - Soluzioni (preparate a casa) agli esercizi assegnati dal docente e seminario su un argomento che estende i contenuti del corso (scelto in accordo con la docente). La valutazione del seminario costituirà i due terzi del voto finale, mentre il restante terzo sarà determinato dalle soluzioni agli esercizi. - Sostenere due esami scritti parziali, uno somministrato a metà del corso e l'altro subito dopo la sua conclusione.
Contenuti
Il corso inizierà con il presentare le nozioni e i risultati fondamentali della teoria delle categorie, e proseguirà con l’esporre i fondamenti della teoria dei topoi e della logica categoriale. Più precisamente, i temi che verranno affrontati sono i seguenti: - Categorie, funtori e trasformazioni naturali - Rappresentabilità - Proprietà universali, limiti e colimiti - Aggiunzioni e loro proprietà - Categorie di fasci su un sito e loro proprietà - Introduzione alla logica del prim'ordine e alla sua interpretazione nelle categorie
