ID:
SCC1146
Durata (ore):
72
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Analisi matematica
Anno:
2026
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (22/02/2027 - 11/06/2027)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Conoscenza e comprensione: Lo studente acquisirà una conoscenza operativa dei metodi dell’analisi avanzata, approfondendo quanto già appreso nei corsi precedenti. Conoscerà i principali enunciati teorici e le relative dimostrazioni, sviluppando una comprensione solida e rigorosa dei fondamenti dell’analisi moderna. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite alla risoluzione di esercizi, anche di natura teorica e astratta, relativi agli argomenti trattati nel corso. Saprà inoltre utilizzare tali competenze nell’analisi di problemi avanzati in ambito matematico. Autonomia di giudizio: Il corso fornirà allo studente un repertorio di tecniche dimostrative che gli permetteranno di valutare autonomamente la validità di ragionamenti matematici, anche complessi, e di costruire dimostrazioni rigorose di risultati collegati a quelli visti a lezione. Abilità comunicative: Lo studente sarà in grado di esprimersi con precisione e proprietà di linguaggio nell’ambito della matematica, utilizzando un linguaggio formale e rigoroso, adatto alla comunicazione di idee matematiche complesse. Capacità di apprendimento: L’approccio teorico e strutturato del corso contribuirà a sviluppare nello studente capacità di studio autonomo e di approfondimento, ponendo le basi per l’apprendimento di ulteriori concetti dell’analisi e della matematica in generale a livelli avanzato.
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di analisi matematica, algebra lineare e geometria e topologia generale, tipicamente offerti in un corso di laurea triennale in matematica.
Metodi didattici
Lezioni frontali: 72 ore Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche. Esercizi di natura teorica assegnati per compito e corretti a lezione daranno agli studenti la possibilità di applicare le tecniche dimostrative generali descritte a lezione in situazioni particolari.
Verifica Apprendimento
- Esercizi a casa che verificano l'acquisizione di una conoscenza operativa delle materia e la capacità di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di applicare le tecniche illustrate a lezione per produrre autonomamente dimostrazioni simili a quelli visti a lezione; - Esame orale finale orale dedicato alla discussione degli esercizi svolti e alla dimostrazione di alcuni teoremi visti a lezione. In questa parte si verifica la conoscenza approfondita degli argomenti svolti a lezione, la capacità di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di riconoscere la validità di ragionamenti matematici anche sofisticati. Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18/30, sarà la media aritmetica dei voti delle 2 parti.
Contenuti
Il corso è suddiviso in due parti: una prima parte dedicata ad argomenti fondamentali di analisi reale e funzionale e una seconda parte incentrata su temi più avanzati.
Parte 1: Introduzione all'Analisi Funzionale
Spazi normati e spazi di Banach. Esempi. Spazi a dimensione finita. Spazi . Teorema di Riesz–Fischer. Teorema di Hahn–Banach e sue conseguenze. Riflessività. Teorema di categoria di Baire, Principio di Limitatezza Uniforme, Teorema dell'Applicazione Aperta e Teorema del Grafico Chiuso, con applicazioni. Topologie deboli e convergenza debole e debole-*. Teoremi di compattezza per successioni nelle topologie deboli. Teorema di Banach–Alaoglu.
Spazi di Hilbert. Ortogonalità e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale degli spazi di Hilbert.
Polinomi trigonometrici e teoria delle serie di Fourier: disuguaglianza di Bessel, identità di Parseval e identità di Plancherel.
Basi ortonormali in . Convoluzione in , disuguaglianza integrale di Minkowski e disuguaglianza di Young. Nuclei regolarizzanti.
Parte 2: A seconda della composizione della classe e del tempo disponibile, verranno selezionati argomenti dal seguente elenco:
Forma geometrica del Teorema di Hahn–Banach. Chiusure forti e deboli degli insiemi convessi. Lemma di Mazur. Punti estremi e Teorema di Krein–Milman.
Riflessività: Teoremi di Kakutani ed Eberlein–Šmulian. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman–Pettis. Convessità uniforme degli spazi .
Spazi vettoriali topologici e spazi seminormati. Metrizzabilità. Topologia degli spazi di funzioni differenziabili e introduzione alle distribuzioni.
Teoria degli operatori negli spazi di Hilbert: operatori lineari e loro aggiunti. Operatori di proiezione, isometrici e unitari. Operatori a rango finito e operatori compatti. Operatori di Hilbert–Schmidt. Operatori chiusi e chiudibili. Operatori simmetrici, autoaggiunti e normali. Estensioni autoaggiunte di operatori simmetrici.
Nozioni fondamentali di teoria spettrale. Teoria spettrale degli operatori compatti. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti e normali.
Introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori: semigruppi e loro generatori. Teorema di Hille–Yosida. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Ulteriori argomenti di teoria della misura: misure di Borel positive. Teorema di rappresentazione di Riesz. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili. Misure segnate e complesse: variazione totale, teoremi di decomposizione di Hahn e di Lebesgue. Teorema di Radon–Nikodym. Caratterizzazione del duale degli spazi . Differenziazione delle misure. Teorema di differenziazione di Lebesgue.
Introduzione all'interpolazione: Teoremi di interpolazione di Riesz–Thorin e di Marcinkiewicz.
Spazi : proprietà di densità e separabilità. Compattezza in : Teorema di Kolmogorov–Riesz.
Ulteriori argomenti sulle serie di Fourier: nuclei di Dirichlet e di Fejér. Teorema di Hausdorff–Young. Convergenza uniforme e assoluta: Teoremi di Lebesgue e di Bernstein.
Trasformata di Fourier in : teoria e teorema di inversione; teoria : identità di Plancherel e teorema di inversione. Disuguaglianza di Hausdorff–Young.
Algebre di Banach e loro spettri.
Parte 1: Introduzione all'Analisi Funzionale
Spazi normati e spazi di Banach. Esempi. Spazi a dimensione finita. Spazi . Teorema di Riesz–Fischer. Teorema di Hahn–Banach e sue conseguenze. Riflessività. Teorema di categoria di Baire, Principio di Limitatezza Uniforme, Teorema dell'Applicazione Aperta e Teorema del Grafico Chiuso, con applicazioni. Topologie deboli e convergenza debole e debole-*. Teoremi di compattezza per successioni nelle topologie deboli. Teorema di Banach–Alaoglu.
Spazi di Hilbert. Ortogonalità e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale degli spazi di Hilbert.
Polinomi trigonometrici e teoria delle serie di Fourier: disuguaglianza di Bessel, identità di Parseval e identità di Plancherel.
Basi ortonormali in . Convoluzione in , disuguaglianza integrale di Minkowski e disuguaglianza di Young. Nuclei regolarizzanti.
Parte 2: A seconda della composizione della classe e del tempo disponibile, verranno selezionati argomenti dal seguente elenco:
Forma geometrica del Teorema di Hahn–Banach. Chiusure forti e deboli degli insiemi convessi. Lemma di Mazur. Punti estremi e Teorema di Krein–Milman.
Riflessività: Teoremi di Kakutani ed Eberlein–Šmulian. Spazi uniformemente convessi. Teorema di Milman–Pettis. Convessità uniforme degli spazi .
Spazi vettoriali topologici e spazi seminormati. Metrizzabilità. Topologia degli spazi di funzioni differenziabili e introduzione alle distribuzioni.
Teoria degli operatori negli spazi di Hilbert: operatori lineari e loro aggiunti. Operatori di proiezione, isometrici e unitari. Operatori a rango finito e operatori compatti. Operatori di Hilbert–Schmidt. Operatori chiusi e chiudibili. Operatori simmetrici, autoaggiunti e normali. Estensioni autoaggiunte di operatori simmetrici.
Nozioni fondamentali di teoria spettrale. Teoria spettrale degli operatori compatti. Teorema spettrale per operatori autoaggiunti e normali.
Introduzione alla teoria dei semigruppi di operatori: semigruppi e loro generatori. Teorema di Hille–Yosida. Applicazioni alle equazioni differenziali.
Ulteriori argomenti di teoria della misura: misure di Borel positive. Teorema di rappresentazione di Riesz. Proprietà di continuità delle funzioni misurabili. Misure segnate e complesse: variazione totale, teoremi di decomposizione di Hahn e di Lebesgue. Teorema di Radon–Nikodym. Caratterizzazione del duale degli spazi . Differenziazione delle misure. Teorema di differenziazione di Lebesgue.
Introduzione all'interpolazione: Teoremi di interpolazione di Riesz–Thorin e di Marcinkiewicz.
Spazi : proprietà di densità e separabilità. Compattezza in : Teorema di Kolmogorov–Riesz.
Ulteriori argomenti sulle serie di Fourier: nuclei di Dirichlet e di Fejér. Teorema di Hausdorff–Young. Convergenza uniforme e assoluta: Teoremi di Lebesgue e di Bernstein.
Trasformata di Fourier in : teoria e teorema di inversione; teoria : identità di Plancherel e teorema di inversione. Disuguaglianza di Hausdorff–Young.
Algebre di Banach e loro spettri.
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per appuntamento da fissare o al termine delle lezioni o scrivendo all’indirizzo alberto.setti@uninsubria.it
Corsi
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MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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