The student must learn the basic tenets of dynamical systems theory. He must learn the notions that enable him/her to read a scientific paper on the subject. He must also develop the capability to formalize and solve problems in this theory.
Prerequisiti
Calcolo, teoria della misura
Metodi didattici
Lezioni frontali.
Verifica Apprendimento
Esame scritto, che puo' prendere la forma di un progetto, seguito da discussione orale che copre tutti i temi trattati nel corso.
Contenuti
Una prima introduzione alla teoria ergodica. Nel dettaglio: 1. Introduzione. Framework metrico. Esempi 2. Misure invarianti. 3. Teorema di Bogoliubov Krylov. Esempi. 4. Mappe 1-dimensionali. Misure assolutamente continue. 5. Operatore e Teoremi di Perron Frobenius. 6. Symbolic dynamics and its invariant measures. Markov chains. 7. Subshifts di tipo finito. Misure singolari continue. 8. Iterated function systems e misure bilanciate. 9. Teorema di ritorno di Poincare'. 10. Teoremi ergodici: Von Neumann. 11. Medie di Birkhoff, teorema ergodico di Birkhoff. 12. Transitivita’ metrica. 13. Esempi di sistemi metricamente transitivi. Teorema di Weyl. 14. Transformazioni piecewise linear. 15. Sistemi fortemente mixing. 16. Sistemi debolmente mixing. 17. Teoremi di caratterizzazione. 18. Teoria spettrale. Operatore di Koopman Von Neumann. 19. Tempi di ritorno, teorema di Kac. 20. Mappa di Von Neumann Kakutani map, Pomeau-Manneville e Gaspard Wang. 21. Statistiche multifrattali. 22. Entropia di Shannon e coding. Teorema di Shannon Kincin. 23. Entropia metrica. Definizione. 24. Teorema di Kolmogorov e partizioni generanti. Arnol'd cat map. 25. Teorema di Ruelle e formula di Pesin. 26. Complessita’ algoritmica, teorema di Brudno e caos dinamico.
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
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