SCV1081 - ANALISI MATEMATICA

insegnamento

ID:

SCV1081

Durata (ore):

48

CFU:

SSD:

Analisi matematica

Sede:

Como - Università degli Studi dell'Insubria

Anno:

2026

Periodo di attività

Secondo Semestre (22/02/2027 - 28/05/2027)

Obiettivi Formativi

L'obiettivo di questo corso è quello di fornire allo studente strumenti teorici e pratici dell’analisi matematica di base con particolare attenzione allo studio delle funzioni reali di una variabile reale, alle successioni e serie numeriche e alla teoria dell'integrazione secondo Riemann. Al termine del corso lo studente sarà in grado di:

1. identificare e definire adeguatamente i concetti teorici trattati;
2. comprendere ed esporre con adeguato formalismo i risultati e le tecniche introdotte;
3. riprodurre brevi dimostrazioni e fornire esempi e controesempi;
4. utilizzare le principali tecniche di calcolo acquisite per risolvere esercizi che richiedono lo studio di funzione e del carattere di una serie, così come il calcolo di limiti, derivate e integrali.

Inoltre, al termine del corso lo studente avrà acquisito un formalismo matematico e un metodo scientifico rigoroso di ragionamento che sarà in grado di applicare allo studio delle altre materie previste dal corso di studi.

Prerequisiti

Sono richieste le seguenti conoscenze di base: equazioni e disequazioni, divisione tra polinomi, trigonometria, geometria analitica (retta e parabola).

Metodi didattici

Lezioni partecipate tenute mediante l’ausilio di tavoletta grafica.
Durante il semestre verranno pubblicati alcuni fogli di esercizi, che verranno in parte risolti durante le esercitazioni o su richiesta degli studenti.

Verifica Apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta della durata di due ore, contenente esercizi e domande aperte di teoria sugli argomenti di tutto il programma. Il punteggio attribuito a ciascun esercizio sarà indicato nella prova al momento dell’esame, così da consentire agli studenti di valutare preventivamente il punteggio complessivo conseguibile e, di conseguenza, la possibile valutazione finale.
Durante il semestre si svolgerà una prova intermedia che consentirà allo studente di maturare fino a 2 punti, che si sommeranno al voto conseguito all'esame, qualora questo venga sostenuto nella sessione di giugno o luglio.

Contenuti

Richiami su insiemi e funzioni (10 ore, obiettivi formativi 1,3)

- Gli insiemi dei numeri interi, razionali, reali.
- Estremo inferiore/superiore, minimo/massimo di un insieme.
- La nozione di funzione; funzioni iniettive, suriettive, biiettive; funzione inversa. Funzioni monotone, limitate.
- Funzioni elementari: modulo, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse.

Successioni (8 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Successioni di numeri reali: successioni monotone, limitate, convergenti, divergenti, irregolari. Limiti per eccesso e per difetto.
- Unicità del limite. Permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti di successioni monotone.
- Algebra dei limiti e forme di indecisione.
- La costante di Nepero.
- Infiniti/infinitesimi, successioni asintotiche, "o piccolo".

Limiti di funzioni (12 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Definizione di limite di funzione e teorema “ponte” tra limiti di successioni e limiti di funzioni.
- Unicità del limite. Permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone.
- Limiti laterali.
- Il calcolo dei limiti; limiti notevoli.
- Ordine di infinito/infinitesimo; le relazioni di asintotico e di “o piccolo”.
- Asintoti verticali, orizzontali, obliqui.

Continuità (6 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Definizione di continuità e classificazione dei punti di discontinuità.
- Proprietà delle funzioni continue.
- Il teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale (16 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Derivata e retta tangente al grafico di una funzione.
- Relazione tra continuità e derivabilità.
- Regole di derivazione.
- Punti di non derivabilità.
- I teoremi del calcolo differenziale.
- Ottimizzazione.
- Il teorema di de L’Hospital.
- Derivata seconda, convessità, punti di flesso.
- Polinomio di Taylor.

Calcolo integrale (12 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Funzioni primitive; integrazione per parti e per sostituzione.
- L'integrale di Riemann e le sue proprietà.
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Serie numeriche (6 ore, obiettivi formativi 1-4)

- La successione delle somme parziali; serie convergenti, divergenti, irregolari.
- Condizione necessaria di convergenza.
- Convergenza assoluta.
- Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza.
- Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz.

Integrali impropri (6 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Definizione di integrale improprio.
- Criteri di convergenza.
- Serie e integrali.