SCV1081 - ANALISI MATEMATICA

insegnamento

ID:

SCV1081

Durata (ore):

72

CFU:

SSD:

Analisi matematica

Sede:

Como - Università degli Studi dell'Insubria

Anno:

2026

Periodo di attività

Secondo Semestre (22/02/2027 - 28/05/2027)

Obiettivi Formativi

L'obiettivo di questo corso è quello di fornire allo studente strumenti teorici e pratici dell’analisi matematica di base con particolare attenzione allo studio delle funzioni reali di una variabile reale, alle successioni e serie numeriche e alla teoria dell'integrazione secondo Riemann. Al termine del corso lo studente sarà in grado di:

1. identificare e definire adeguatamente i concetti teorici trattati;
2. comprendere ed esporre con adeguato formalismo i risultati e le tecniche introdotte;
3. riprodurre brevi dimostrazioni e fornire esempi e controesempi;
4. utilizzare le principali tecniche di calcolo acquisite per risolvere esercizi che richiedono lo studio di funzione e del carattere di una serie, così come il calcolo di limiti, derivate e integrali.

Inoltre, al termine del corso lo studente avrà acquisito un formalismo matematico e un metodo scientifico rigoroso di ragionamento che sarà in grado di applicare allo studio delle altre materie previste dal corso di studi.

Prerequisiti

Sono richieste le seguenti conoscenze di base: equazioni e disequazioni, divisione tra polinomi, trigonometria, geometria analitica (retta e parabola).

Metodi didattici

Lezioni partecipate tenute mediante l’ausilio di tavoletta grafica.
Durante il semestre verranno pubblicati alcuni fogli di esercizi, che verranno in parte risolti durante le esercitazioni o su richiesta degli studenti.

Verifica Apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta della durata di due ore, contenente esercizi e domande aperte di teoria sugli argomenti di tutto il programma. Il punteggio attribuito a ciascun esercizio sarà indicato nella prova al momento dell’esame, così da consentire agli studenti di valutare preventivamente il punteggio complessivo conseguibile e, di conseguenza, la possibile valutazione finale. Se necessario, i docenti potranno decidere di richiedere un’integrazione orale, a seguito della quale la commissione ha la facoltà di aumentare o diminuire il voto dello scritto. In particolare, ciò può comportare anche la bocciatura di un candidato che abbia ottenuto una valutazione maggiore o uguale a 18 nello scritto.
Durante il semestre si svolgerà una prova intermedia che consentirà allo studente di maturare fino a 2 punti, che si sommeranno al voto conseguito all'esame, qualora questo venga sostenuto nella sessione di giugno o luglio.

Contenuti

Richiami su insiemi e funzioni (10 ore, obiettivi formativi 1,3)

- Gli insiemi dei numeri interi, razionali, reali.
- Estremo inferiore/superiore, minimo/massimo di un insieme.
- La nozione di funzione; funzioni iniettive, suriettive, biiettive; funzione inversa. Funzioni monotone, limitate.
- Funzioni elementari: modulo, potenze, esponenziali, logaritmi, funzioni trigonometriche inverse.

Successioni (8 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Successioni di numeri reali: successioni monotone, limitate, convergenti, divergenti, irregolari. Limiti per eccesso e per difetto.
- Unicità del limite. Permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti di successioni monotone.
- Algebra dei limiti e forme di indecisione.
- La costante di Nepero.
- Infiniti/infinitesimi, successioni asintotiche, "o piccolo".

Limiti di funzioni (12 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Definizione di limite di funzione e teorema “ponte” tra limiti di successioni e limiti di funzioni.
- Unicità del limite. Permanenza del segno. Teorema del confronto. Limiti di funzioni monotone.
- Limiti laterali.
- Il calcolo dei limiti; limiti notevoli.
- Ordine di infinito/infinitesimo; le relazioni di asintotico e di “o piccolo”.
- Asintoti verticali, orizzontali, obliqui.

Continuità (6 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Definizione di continuità e classificazione dei punti di discontinuità.
- Proprietà delle funzioni continue.
- Il teorema di Weierstrass.

Calcolo differenziale (16 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Derivata e retta tangente al grafico di una funzione.
- Relazione tra continuità e derivabilità.
- Regole di derivazione.
- Punti di non derivabilità.
- I teoremi del calcolo differenziale.
- Ottimizzazione.
- Il teorema di de L’Hospital.
- Derivata seconda, convessità, punti di flesso.
- Polinomio di Taylor.

Calcolo integrale (12 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Funzioni primitive; integrazione per parti e per sostituzione.
- L'integrale di Riemann e le sue proprietà.
- Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Serie numeriche (6 ore, obiettivi formativi 1-4)

- La successione delle somme parziali; serie convergenti, divergenti, irregolari.
- Condizione necessaria di convergenza.
- Convergenza assoluta.
- Serie a termini non negativi. Criteri di convergenza.
- Serie a termini di segno alterno e criterio di Leibniz.

Integrali impropri (6 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Definizione di integrale improprio.
- Criteri di convergenza.
- Serie e integrali.