Lo scopo del corso è di presentare alcune tecniche e risultati di analisi funzionale con applicazioni alle equazioni nonlineari dispersive, in particolare all’equazione di Schrödinger nonlineare (ESNL). Il corso inizia con l'introduzione di alcuni strumenti di analisi: spazi di Lebesgue, teorema di interopolazione di Riesz Thorin, trasformata di Fourier. Nella seconda parte del corso gli strumenti introdotti verranno applicati allo studio dell'equazione di Schrödinger lineare (ESL), in particolare all'analisi delle proprietà dispersive delle soluzioni del problema di Cauchy ad essa associato. La terza parte del corso è dedicata allo studio dell'ESNL, in particolare alla buona posizione del problema di Cauchy associato in vari spazi funzionali utilizzando tecniche di punto fisso e le proprietà dispersive analizzate precedentemente. Proprietà simili e risultati analoghi verranno discussi per un'altra equazione dispersiva fondamentale: l'equazione di Korteweg-de Vries. L'ultima parte dell'corso è dedicata alla studio delle soluzioni singolari della ESNL. Al termine del corso lo studente: - avrà acquisito e sarà in grado di dimostrare alcuni risultati fondamentali dell'analisi moderna, come il Teorema di Interpolazione di Riesz-Thorin; - sarà in grado di enunciare e dimostrare teoremi di esistenza, unicità e stabilità delle soluzioni del problema di Cauchy per l'ESL; - sarà in grado di produrre formule di rappresentazione e discutere le proprietà fondamentali delle soluzioni del problema di Cauchy per l'ESL; - enunciare e dimostrare teoremi di esistenza e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy per l'ESNL; - enunciare e dimostrare risultati sulla stabilità delle soluzioni del problema di Cauchy per l'ESNL.
Prerequisiti
Teoria dell’integrazione, teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Metodi didattici
Lezioni frontali. 64 ore
Verifica Apprendimento
Esame orale. L'esame consiste in una discussione sui risultati e sulle tecniche risolutive presentati durante il corso. Lo scopo dell'esame è di verificare: il livello di conoscenza e di approfondimento degli argomenti affrontati; la piena comprensione delle tecniche risolutive e delle proprietà delle soluzioni; la capacità di enunciare teoremi ed esporre le dimostrazioni in modo matematicamente rigoroso; la capacità di discutere gli esempi presentati a lezione.
Contenuti
- Spazi di Lebesgue (cenni) - Funzioni classe Schwartz e distribuzioni - La trasformata di Fourier - Teoremi di interpolazione - Spazi di Sobolev - L’equazione di Schrödinger lineare - L’equazione di Schrödinger non lineare, struttura Hamiltoniana, esistenza di soluzioni locali - Esistenza di soluzioni globali e blowup in tempo finito - Stabilità
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Orario di ricevimento: per appuntamento. e-mail: claudio.cacciapuoti@uninsubria.it