L'obiettivo del corso è quello di fornire agli studenti i concetti di base della geometria differenziale e delle strutture geometriche. Le varietà differenziali sono gli spazi naturali sui quali può essere introdotta la nozione di differenziabilità di una mappa e dove gli strumenti classici dell'Analisi possono essere sviluppati ed estesi. Inoltre, sulle varietà si può fare geometria. Si possono adattare le idee della geometria euclidea piana a spazi curvi, o introdurre nuove geometrie; in molti casi, è la Fisica a suggerire quali di queste geometrie giochino un ruolo rilevante. Al termine del corso ci si attende che:
1) gli studenti abbiano acquisito le principali nozioni e i teoremi fondamentali della teoria delle varietà differenziali e delle strutture geometriche su di loro definite;
2) sulla base delle dimostrazioni apprese a lezione, gli studenti siano in grado di compiere autonomamente dei ragionamenti di media complessità, per dedurre proprietà di natura astratta di questi oggetti;
3) gli studenti sappiano individuare su esempi concreti le principali proprietà degli oggetti sopra elencati.
Prerequisiti
Il calcolo, in una e più variabili reali, verrà usato sin dalle prime lezioni del corso. È richiesta inoltre una conoscenza approfondita di topologia, come acquisita nel corso di Geometria 1. Anche il contenuto del corso di Geometria 2 sarà d’aiuto.
Metodi didattici
Il metodo di insegnamento consiste in lezioni frontali, in presenza e in streaming. Verranno assegnati regolarmente esercizi sia di natura teorica che basati su esempi concreti
Verifica Apprendimento
La verifica dell'apprendimento consiste di due parti:
1) Un esame scritto, della durata di 2 ore, dove gli studenti dovranno risolvere alcuni dei numerosi esercizi assegnati durante il corso. Tali esercizi hanno un grado di complessità tale da mettere in luce se gli studenti abbiano acquisito sia le abilità nell'investigare le proprietà principali degli oggetti introdotti a lezione che nel condurre autonomamente ragionamenti per dedurre conclusioni più astratte.
2) Un esame tradizionale orale durante il quale gli studenti dovranno mostrare di aver acquisito le nozioni basilari e le dimostrazioni dei principali.
Contenuti
I contenuti principali del corso sono:
1) Varietà differenziali 2) Tensori e forme differenziali 3) Integrazione su varietà 4) Geometria riemanniana: curvatura e geodetiche 5) Geometria simplettica: teorema di Darboux e meccanica hamiltoniana
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Per il ricevimento, si consiglia di contattare il docente all’indirizzo email, giovanni.bazzoni@uninsubria.it