ID:
SCC0593
Durata (ore):
78
CFU:
8
SSD:
LOGICA MATEMATICA
Anno:
2023
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (26/02/2024 - 14/06/2024)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Questo è un corso introduttivo alla Logica Matematica. Il corso mira a studiare il processo di dimostrazione, il nesso tra dimostrazione e verità, il concetto di costruzione e di costruzione calcolabile. Il corso mostra e discute i limiti della dimostrazione matematica come mezzo accedere alla verità.
Al termine del corso ci si attende che lo studente abbia acquisito le seguenti abilità:
1. effettuare semplici dimostrazioni matematiche all’interno di un sistema formale tra quelli presentati (logica proposizionale classica e intuizionista, logica al primo ordine classica e intuizionista, lambda-calcolo e teoria dei tipi semplici).
2. effettuare dimostrazioni riguardanti un sistema formale tra quelli presentati (correttezza, completezza, sintesi di modelli non standard mediante compattezza).
3. vedere criticamente le nozioni fondamentali della matematica (molteplicità del concetto di insieme, molteplicità del concetto di numero, vero non coincidente con dimostrabile).
4. relazionare dimostrazioni e computazioni (interpretazione delle proposizioni come tipi nei sistemi intuizionisti, concetto di costruttività).
5. legare lo studio dei sistemi formali ad altri domini matematici (logica come studio dei fondamenti della matematica).
E’ anche previsto che lo studio della logica conduca lo studente ad acquisire un vocabolario scientifico adeguato che gli consenta di rivedere criticamente le conoscenze già in suo possesso in ambito matematico, espandendo la coscienza di unità delle discipline matematiche.
Al termine del corso ci si attende che lo studente abbia acquisito le seguenti abilità:
1. effettuare semplici dimostrazioni matematiche all’interno di un sistema formale tra quelli presentati (logica proposizionale classica e intuizionista, logica al primo ordine classica e intuizionista, lambda-calcolo e teoria dei tipi semplici).
2. effettuare dimostrazioni riguardanti un sistema formale tra quelli presentati (correttezza, completezza, sintesi di modelli non standard mediante compattezza).
3. vedere criticamente le nozioni fondamentali della matematica (molteplicità del concetto di insieme, molteplicità del concetto di numero, vero non coincidente con dimostrabile).
4. relazionare dimostrazioni e computazioni (interpretazione delle proposizioni come tipi nei sistemi intuizionisti, concetto di costruttività).
5. legare lo studio dei sistemi formali ad altri domini matematici (logica come studio dei fondamenti della matematica).
E’ anche previsto che lo studio della logica conduca lo studente ad acquisire un vocabolario scientifico adeguato che gli consenta di rivedere criticamente le conoscenze già in suo possesso in ambito matematico, espandendo la coscienza di unità delle discipline matematiche.
Prerequisiti
Non sono previsti prerequisiti a parte il possesso delle conoscenze di base di una laurea triennale in ambito matematico: elementi basilari di aritmetica, algebra, analisi matematica e topologia elementare. E’ utile, ma non necessario, possedere rudimenti relativi alla programmazione di calcolatori.
Metodi didattici
Lezione frontale in lingua inglese con l’ausilio di slides e approfondimenti alla lavagna.
Gli obiettivi didattici verranno raggiunti seguendo il seguente schema:
1. ognuno dei sette capitoli del corso viene introdotto da una discussione generale di inquadramento nelle discipline matematiche, con la spiegazione del senso filosofico della materia che si andrà ad affrontare.
2. verranno illustrate le definizioni e i teoremi fondamentali al fine di fornire l’impianto matematico in modo solido e ordinato.
3. esempi di utilizzo accompagneranno i risultati di particolare rilievo, sia per chiarirne il senso, sia per illustrarne l’applicazione.
4. le parti che necessitano (dimostrazioni formali) saranno compendiate da esercizi svolti in classe dal docente, con particolare enfasi sul metodo per la loro risoluzione.
5. al termine di ogni capitolo, si fornisce un sommario dei risultati ottenuti con lo scopo di fornire la prospettiva atta a inquadrarli criticamente sia rispetto al loro senso matematico, sia in relazione alle conoscenze acquisite in altri corsi.
Data la duplice natura matematica e filosofica della disciplina, si consiglia agli studenti di partecipare alle lezioni, anche se la frequenza non è obbligatoria.
Gli obiettivi didattici verranno raggiunti seguendo il seguente schema:
1. ognuno dei sette capitoli del corso viene introdotto da una discussione generale di inquadramento nelle discipline matematiche, con la spiegazione del senso filosofico della materia che si andrà ad affrontare.
2. verranno illustrate le definizioni e i teoremi fondamentali al fine di fornire l’impianto matematico in modo solido e ordinato.
3. esempi di utilizzo accompagneranno i risultati di particolare rilievo, sia per chiarirne il senso, sia per illustrarne l’applicazione.
4. le parti che necessitano (dimostrazioni formali) saranno compendiate da esercizi svolti in classe dal docente, con particolare enfasi sul metodo per la loro risoluzione.
5. al termine di ogni capitolo, si fornisce un sommario dei risultati ottenuti con lo scopo di fornire la prospettiva atta a inquadrarli criticamente sia rispetto al loro senso matematico, sia in relazione alle conoscenze acquisite in altri corsi.
Data la duplice natura matematica e filosofica della disciplina, si consiglia agli studenti di partecipare alle lezioni, anche se la frequenza non è obbligatoria.
Verifica Apprendimento
L’esame è orale, con la scelta alternativa per i frequentanti di effettuare quattro prove scritte intermedie in aula in sostituzione dell’esame finale.
Durante un esame orale verrà verificata
- la capacità di effettuare una dimostrazione formale in uno dei sistemi logici presentati al corso: logica proposizionale classica e intuizionista, logica al primo ordine classica e intuizionista, λ-calcolo, teoria dei tipi semplici.
- la conoscenza del contenuto del corso mediante l’enunciazione e la dimostrazione di alcuni teoremi tra quelli che sono stati illustrati a lezione. Il numero dei teoremi e la loro scelta vengono guidati dalla necessità di ricoprire i sette capitoli del programma.
- la capacità di relazionare i concetti appresi a lezione con gli interessi matematici dello studente, mediante una domanda che richieda specificamente di usare i concetti del corso nell’ambito che lo studente predilige.
Il voto sarà determinato dal grado di conoscenza e studio, dalla capacità manipolativa formale, e dalla abilità di porre in relazione i concetti base del corso con altri ambiti matematici.
Le prove intermedie sono una opzione riservata agli studenti frequentanti.
Ogni prova è articolata su tre quesiti:
1. effettuare un esercizio di dimostrazione in un sistema formale (prove 1 e 2), oppure su di un sistema formale (prove 3 e 4).
2. enunciare e dimostrare un risultato tra quelli studiati a lezione nei capitoli corrispondenti (prova 1, capitolo 2 – prova 2, capitolo 3 – prova 3, capitoli 4 e 5 – prova 4, capitoli 6 e 7).
3. effettuare una dimostrazione o una costruzione non illustrata a lezione, che richieda l’uso dei concetti studiati.
La votazione di ciascuna sarà determinata in base alla correttezza dei primi due quesiti, e in base alla linea di ragionamento seguita nel terzo quesito.
La votazione finale sarà la media dei voti delle quattro prove intermedie.
Durante un esame orale verrà verificata
- la capacità di effettuare una dimostrazione formale in uno dei sistemi logici presentati al corso: logica proposizionale classica e intuizionista, logica al primo ordine classica e intuizionista, λ-calcolo, teoria dei tipi semplici.
- la conoscenza del contenuto del corso mediante l’enunciazione e la dimostrazione di alcuni teoremi tra quelli che sono stati illustrati a lezione. Il numero dei teoremi e la loro scelta vengono guidati dalla necessità di ricoprire i sette capitoli del programma.
- la capacità di relazionare i concetti appresi a lezione con gli interessi matematici dello studente, mediante una domanda che richieda specificamente di usare i concetti del corso nell’ambito che lo studente predilige.
Il voto sarà determinato dal grado di conoscenza e studio, dalla capacità manipolativa formale, e dalla abilità di porre in relazione i concetti base del corso con altri ambiti matematici.
Le prove intermedie sono una opzione riservata agli studenti frequentanti.
Ogni prova è articolata su tre quesiti:
1. effettuare un esercizio di dimostrazione in un sistema formale (prove 1 e 2), oppure su di un sistema formale (prove 3 e 4).
2. enunciare e dimostrare un risultato tra quelli studiati a lezione nei capitoli corrispondenti (prova 1, capitolo 2 – prova 2, capitolo 3 – prova 3, capitoli 4 e 5 – prova 4, capitoli 6 e 7).
3. effettuare una dimostrazione o una costruzione non illustrata a lezione, che richieda l’uso dei concetti studiati.
La votazione di ciascuna sarà determinata in base alla correttezza dei primi due quesiti, e in base alla linea di ragionamento seguita nel terzo quesito.
La votazione finale sarà la media dei voti delle quattro prove intermedie.
Contenuti
1. introduzione: breve storia della logica; formalismo, sintassi, semantica, interpretazione intesa; una infinita varietà di logiche; questioni di fondamenti; correttezza, completezza.
2. logica proposizionale classica: sintassi, calcolo in deduzione naturale; semantica con tavole di verità e con algebre booleane; correttezza, completezza.
3. logica classica al primo ordine: sintassi, calcolo in deduzione naturale; semantica alla Tarski, correttezza, completezza; compattezza; cenni alla teoria dei modelli.
4. teoria degli insiemi di Zermelo-Frænkel: classi e insiemi; ordinali, cardinali e relative induzioni; l'assioma di scelta, l'ipotesi del continuo.
5. fondamenti di calcolabilità: funzioni calcolabili, funzioni primitive ricorsive, funzioni ricorsive parziali; teorema di enumerazione e funzione universale; punti fissi; λ-calcolo puro e funzioni rappresentabili; teoria dei tipi semplici e normalizzazione forte.
5. fondamenti di logica intuizionista: sintassi e potenza espressiva; semantica proposizionale algebrica; correttezza e completezza; proposizioni come tipi; normalizzazione.
5. risultati limitativi: teoremi di incompletezza di Gödel; incompletezza naturale (cenni).
2. logica proposizionale classica: sintassi, calcolo in deduzione naturale; semantica con tavole di verità e con algebre booleane; correttezza, completezza.
3. logica classica al primo ordine: sintassi, calcolo in deduzione naturale; semantica alla Tarski, correttezza, completezza; compattezza; cenni alla teoria dei modelli.
4. teoria degli insiemi di Zermelo-Frænkel: classi e insiemi; ordinali, cardinali e relative induzioni; l'assioma di scelta, l'ipotesi del continuo.
5. fondamenti di calcolabilità: funzioni calcolabili, funzioni primitive ricorsive, funzioni ricorsive parziali; teorema di enumerazione e funzione universale; punti fissi; λ-calcolo puro e funzioni rappresentabili; teoria dei tipi semplici e normalizzazione forte.
5. fondamenti di logica intuizionista: sintassi e potenza espressiva; semantica proposizionale algebrica; correttezza e completezza; proposizioni come tipi; normalizzazione.
5. risultati limitativi: teoremi di incompletezza di Gödel; incompletezza naturale (cenni).
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Il sito web del corso è: https://marcobenini.me/lectures/mathematical-logic/
Il ricevimento studenti è su appuntamento da concordarsi via email.
Il ricevimento studenti è su appuntamento da concordarsi via email.
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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