L'obiettivo del corso è di presentare alcuni concetti e tecniche della teoria moderna delle equazioni differenziali alle derivate parziali (PDE). Le PDE sono un argomento molto ricco e non esiste una teoria generale per studiare la risolvibilità di tutte le PDE. Questo corso si concentrerà specificamente sullo studio delle equazioni dispersive non lineari, con particolare enfasi sull'equazione di Schrödinger non lineare. Al termine del corso, lo studente: - avrà acquisito e sarà in grado di dimostrare alcuni risultati fondamentali dell'analisi moderna, come il teorema di interpolazione di Riesz-Thorin; - sarà in grado di enunciare e dimostrare teoremi sull'esistenza, unicità e stabilità delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger; - Sarà in grado di derivare formule di rappresentazione e discutere le proprietà fondamentali delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger; - sarà in grado di enunciare e dimostrare teoremi sull'esistenza locale e unicità delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger nonlineare; - sarà in grado di enunciare e dimostrare risultati sul comportamento asintotico (nel tempo) delle soluzioni del problema di Cauchy per l'equazione di Schrödinger nonlineare.
Prerequisiti
Il principale prerequisito è una conoscenza di base dell'analisi reale, della misura di Lebesgue su R^n, della teoria dell'integrazione e della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Metodi didattici
Lezioni frontali alla lavagna o per mezzo di uno strumento analogo. 64 ore
Verifica Apprendimento
Esame orale. L'esame consiste in una discussione sui risultati e sulle tecniche risolutive presentati durante il corso. Lo scopo dell'esame è di verificare: il livello di conoscenza e di approfondimento degli argomenti affrontati; la piena comprensione delle tecniche risolutive e delle proprietà delle soluzioni; la capacità di enunciare teoremi ed esporre le dimostrazioni in modo matematicamente rigoroso; la capacità di discutere gli esempi presentati a lezione.
Contenuti
Il corso inizia con una revisione delle proprietà fondamentali degli spazi di Lebesgue, seguita dalla dimostrazione del teorema di interpolazione di Riesz-Thorin. Successivamente, verrà introdotta la trasformata di Fourier, che servirà come strumento per definire gli spazi di Sobolev e per fornire una formula di rappresentazione per la soluzione del problema di Cauchy associato all'equazione di Schrödinger lineare. Verranno poi introdotte le stime dispersive e di Strichartz, che saranno applicate per studiare l'esistenza locale delle soluzioni dell'equazione di Schrödinger non lineare. Risultati analoghi saranno discussi per l'equazione di Korteweg-de Vries, che è un altro esempio di equazione dispersiva. Il corso si concluderà con una discussione sul comportamento asintontico (nel tempo) delle soluzioni, distinguendo tra l'esistenza globale e il blowup in tempo finito.
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Orario di ricevimento: per appuntamento. e-mail: claudio.cacciapuoti@uninsubria.it