SCV0006 - ANALISI MATEMATICA

insegnamento

ID:

SCV0006

Durata (ore):

76

CFU:

SSD:

ANALISI MATEMATICA

Sede:

Como - Università degli Studi dell'Insubria

Anno:

2024

Periodo di attività

Secondo Semestre (17/02/2025 - 30/05/2025)

Obiettivi Formativi

L'obiettivo di questo corso è quello di fornire allo studente strumenti teorici e pratici dell’analisi matematica di base con particolare attenzione allo studio delle funzioni reali di una variabile reale, alle successioni e serie numeriche e alla teoria dell'integrazione secondo Riemann. Al termine del corso lo studente sarà in grado di:

1. identificare e definire adeguatamente i concetti teorici trattati;
2. comprendere ed esporre con adeguato formalismo i risultati e le tecniche introdotte;
3. riprodurre brevi dimostrazioni e fornire esempi e controesempi;
4. utilizzare le principali tecniche di calcolo acquisite per risolvere esercizi che richiedono lo studio di funzione e del carattere di una serie, così come il calcolo di limiti, derivate e integrali.

Inoltre, al termine del corso lo studente avrà acquisito un formalismo matematico e un metodo scientifico rigoroso di ragionamento che sarà in grado di applicare allo studio delle altre materie previste dal corso di studi.

Prerequisiti

Sono richieste le seguenti conoscenze di base: equazioni e disequazioni, divisione tra polinomi, trigonometria, geometria analitica (retta e parabola).

Metodi didattici

Lezioni (64 ore) ed esercitazioni (24 ore).

Le lezioni sono frontali e verranno tenute mediante l’ausilio di un proiettore di documenti.

Le esercitazioni sono volte all’applicazione degli strumenti teorici acquisiti durante le lezioni.

Verifica Apprendimento

L'esame finale consiste in una prova scritta contenente esercizi e domande aperte di teoria sugli argomenti di tutto il programma. Gli esercizi concerneranno lo studio di funzione e del carattere di una serie, così come il calcolo di limiti, derivate e integrali, mentre le domande prevederanno di scrivere definizioni, enunciare teoremi e riprodurre brevi dimostrazioni.

Lo studente ha 2 ore di tempo e non può consultare alcun materiale. L’uso della calcolatrice non è consentito.

I criteri che guideranno la valutazione delle prove concernono innanzitutto la correttezza dei passaggi effettuati al fine di risolvere gli esercizi prima ancora che l’esattezza della soluzione fornita. Circa le domande aperte si valuteranno il formalismo e la capacità espositiva matematica raggiunte dallo studente, oltre che l’effettiva comprensione dei risultati visti.

Contenuti

Le lezioni e le relative esercitazioni affronteranno i seguenti argomenti:

Preliminari e richiami su insiemi e funzioni (10 ore, obiettivi formativi 1,3)

- Richiamo delle proprietà che caratterizzano l’insieme dei razionali e dei reali
- Concetto di estremo inferiore/superiore, minimo/massimo di un insieme
- Concetto di funzione e principali proprietà
- Funzioni elementari: modulo, potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche inverse

Limiti di successioni (8 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Successioni, convergenti, divergenti, irregolari, limitate e unicità del limite
- Algebra dei limiti e forme di indecisione
- Principali teoremi per il calcolo del limite di una successione (tra cui quello del confronto, della permanenza del segno e del limite per successioni monotone)
- Numero di Nepero come limite di una particolare successione
- Infiniti/infinitesimi, confronto tra questi e successioni asintotiche

Limiti di funzioni (12 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Definizione di limite di una funzione e teorema “ponte” tra limiti di successioni e limiti di funzioni
- Estensione dei principali teoremi per il calcolo dei limiti già visti nel caso specifico delle successioni anche al caso dei limiti di generiche funzioni
- Concetto di ordine di infinito/infinitesimo, di funzioni asintotiche e di “o piccolo”
- Limiti notevoli e loro riscrittura in termini di relazioni asintotiche oltre che utilizzando gli “o piccoli”
- Applicazione del concetto di limite al finire di determinare gli asintoti al grafico di una funzione

Funzioni continue di una variabile reale (6 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Definizione di continuità e classificazione dei punti di discontinuità
- Concetto di continuità in relazione con le operazioni algebriche, la composizione, l’inversione, la monotonia
- Principali teoremi per funzioni continue definite su un intervallo

Calcolo differenziale (16 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Introduzione al concetto di derivata passando per il suo significato geometrico e classificazione dei punti di non derivabilità
- Relazione tra continuità e derivabilità
- Concetto di derivabilità in relazione con le principali operazioni algebriche, la composizione, l’inversione e la monotonia
- Punti critici e ricerca dei punti di estremo locale di una funzione
- Principali teoremi per funzioni derivabili su un intervallo
- Teorema di de L’Hopital e conseguenze utili al fine del calcolo di limiti e derivate
- Concetto di concavità/convessità, relativo significato geometrico, punti di flesso e relazione con il segno della derivata seconda
- Ricapitolazione dei vari passaggi finalizzati a compiere uno studio di funzione completo
- Polinomi di Taylor e MacLaurin come applicazione del concetto di derivata e come strumenti per il calcolo di limiti

Integrali (12 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Introduzione al concetto di integrale di Riemann mediante somme inferiori e superiori e sue proprietà
- Teorema fondamentale del calcolo integrale come strumento effettivo per il calcolo degli integrali passando per il concetto di primitiva
- Tecniche di integrazione per parti e per sostituzione

Serie numeriche (6 ore, obiettivi formativi 1-4)

- Concetto di serie come limite della successione delle somme parziali
- Alcune serie note: serie di Mengoli, serie geometrica, serie armonica
- Condizione necessaria di convergenza
- Serie a termini non negativi e criteri di convergenza sufficienti per queste
- Serie a segno variabile e concetto di convergenza assoluta
- Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz

Numeri complessi (4 ore, obiettivi formativi 1-3)

- Forma algebrica e trigonometrica di un numero complesso
- Operazioni tra numeri complessi, modulo, potenza e coniugato di un numero complesso
- Radici complesse e cenno al teorema fondamentale dell'algebra