ID:
SCV0006
Durata (ore):
76
CFU:
9
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Sede:
Varese - Università degli Studi dell'Insubria
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (17/02/2025 - 30/05/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
L'obiettivo di questo corso è quello di fornire allo studente strumenti teorici e pratici dell’analisi matematica di base con particolare attenzione allo studio delle funzioni reali di una variabile reale, alle successioni e serie numeriche e alla teoria dell'integrazione secondo Riemann. Al termine del corso lo studente sarà in grado di:
1. identificare e definire adeguatamente i concetti teorici trattati;
2. comprendere ed esporre con adeguato formalismo i risultati e le tecniche introdotte;
3. riprodurre brevi dimostrazioni e fornire esempi e controesempi;
4. utilizzare le principali tecniche di calcolo acquisite per risolvere esercizi che richiedono lo studio di funzione e del carattere di una serie, così come il calcolo di limiti, derivate e integrali.
Inoltre, al termine del corso lo studente avrà acquisito un formalismo matematico e un metodo scientifico rigoroso di ragionamento che sarà in grado di applicare allo studio delle altre materie previste dal corso di studi.
1. identificare e definire adeguatamente i concetti teorici trattati;
2. comprendere ed esporre con adeguato formalismo i risultati e le tecniche introdotte;
3. riprodurre brevi dimostrazioni e fornire esempi e controesempi;
4. utilizzare le principali tecniche di calcolo acquisite per risolvere esercizi che richiedono lo studio di funzione e del carattere di una serie, così come il calcolo di limiti, derivate e integrali.
Inoltre, al termine del corso lo studente avrà acquisito un formalismo matematico e un metodo scientifico rigoroso di ragionamento che sarà in grado di applicare allo studio delle altre materie previste dal corso di studi.
Prerequisiti
Sono richieste le seguenti conoscenze di base: equazioni e disequazioni, divisione tra polinomi, trigonometria, geometria analitica (retta e parabola).
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni
Verifica Apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta che conterrà quattro/cinque esercizi e una domanda di teoria (una definizione e un teorema con relativa dimostrazione) e avrà la durata di due ore e trenta minuti (due ore per gli esercizi, per risolvere i quali sarà consentita la consultazione di un libro di testo, e mezz'ora per la domanda di teoria). L'esame sarà superato se si conseguirà una votazione di almeno 18/30.
Contenuti
Le lezioni e le relative esercitazioni affronteranno i seguenti argomenti:
Preliminari e richiami su insiemi e funzioni (10 ore, obiettivi formativi 1,3)
- Richiamo delle proprietà che caratterizzano l’insieme dei razionali e dei reali
- Concetto di estremo inferiore/superiore, minimo/massimo di un insieme
- Concetto di funzione e principali proprietà
- Funzioni elementari: modulo, potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche inverse
Limiti di successioni (8 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Successioni, convergenti, divergenti, irregolari, limitate e unicità del limite
- Algebra dei limiti e forme di indecisione
- Principali teoremi per il calcolo del limite di una successione (tra cui quello del confronto, della permanenza del segno e del limite per successioni monotone)
- Numero di Nepero come limite di una particolare successione
- Infiniti/infinitesimi, confronto tra questi e successioni asintotiche
- Cenno al concetto di sottosuccessione e applicazione al fine di stabilire la non esistenza di un limite
Limiti di funzioni (12 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Definizione di limite di una funzione e teorema “ponte” tra limiti di successioni e limiti di funzioni
- Estensione dei principali teoremi per il calcolo dei limiti già visti nel caso specifico delle successioni anche al caso dei limiti di generiche funzioni
- Concetto di ordine di infinito/infinitesimo, di funzioni asintotiche e di “o piccolo”
- Limiti notevoli e loro riscrittura in termini di relazioni asintotiche oltre che utilizzando gli “o piccoli”
- Applicazione del concetto di limite al finire di determinare gli asintoti al grafico di una funzione
Funzioni continue di una variabile reale (6 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Definizione di continuità e classificazione dei punti di discontinuità
- Concetto di continuità in relazione con le operazioni algebriche, la composizione, l’inversione, la monotonia
- Principali teoremi per funzioni continue definite su un intervallo
Calcolo differenziale (16 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Introduzione al concetto di derivata passando per il suo significato geometrico e classificazione dei punti di non derivabilità
- Relazione tra continuità e derivabilità
- Concetto di derivabilità in relazione con le principali operazioni algebriche, la composizione, l’inversione e la monotonia
- Punti critici e ricerca dei punti di estremo locale di una funzione
- Principali teoremi per funzioni derivabili su un intervallo
- Teorema di de L’Hopital e conseguenze utili al fine del calcolo di limiti e derivate
- Concetto di concavità/convessità, relativo significato geometrico, punti di flesso e relazione con il segno della derivata seconda
- Ricapitolazione dei vari passaggi finalizzati a compiere uno studio di funzione completo
- Polinomi di Taylor e MacLaurin come applicazione del concetto di derivata e come strumenti per il calcolo di limiti
Integrali (12 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Introduzione al concetto di integrale di Riemann mediante somme inferiori e superiori e sue proprietà
- Funzioni integrali e teorema fondamentale del calcolo integrale come strumento effettivo per il calcolo degli integrali passando per il concetto di primitiva
- Tecniche di integrazione per parti e per sostituzione
Serie numeriche (6 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Concetto di serie come limite della successione delle somme parziali
- Alcune serie note: serie di Mengoli, serie geometrica, serie armonica
- Condizione necessaria di convergenza
- Serie a termini non negativi e criteri di convergenza sufficienti per queste
- Serie a segno variabile e concetto di convergenza assoluta
- Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz
Numeri complessi (4 ore, obiettivi formativi 1-3)
- Forma algebrica e trigonometrica di un numero complesso
- Operazioni tra numeri complessi, modulo, potenza e coniugato di un numero complesso
- Radici complesse e cenno al teorema fondamentale dell'algebra
Preliminari e richiami su insiemi e funzioni (10 ore, obiettivi formativi 1,3)
- Richiamo delle proprietà che caratterizzano l’insieme dei razionali e dei reali
- Concetto di estremo inferiore/superiore, minimo/massimo di un insieme
- Concetto di funzione e principali proprietà
- Funzioni elementari: modulo, potenza, esponenziale, logaritmo, funzioni trigonometriche inverse
Limiti di successioni (8 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Successioni, convergenti, divergenti, irregolari, limitate e unicità del limite
- Algebra dei limiti e forme di indecisione
- Principali teoremi per il calcolo del limite di una successione (tra cui quello del confronto, della permanenza del segno e del limite per successioni monotone)
- Numero di Nepero come limite di una particolare successione
- Infiniti/infinitesimi, confronto tra questi e successioni asintotiche
- Cenno al concetto di sottosuccessione e applicazione al fine di stabilire la non esistenza di un limite
Limiti di funzioni (12 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Definizione di limite di una funzione e teorema “ponte” tra limiti di successioni e limiti di funzioni
- Estensione dei principali teoremi per il calcolo dei limiti già visti nel caso specifico delle successioni anche al caso dei limiti di generiche funzioni
- Concetto di ordine di infinito/infinitesimo, di funzioni asintotiche e di “o piccolo”
- Limiti notevoli e loro riscrittura in termini di relazioni asintotiche oltre che utilizzando gli “o piccoli”
- Applicazione del concetto di limite al finire di determinare gli asintoti al grafico di una funzione
Funzioni continue di una variabile reale (6 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Definizione di continuità e classificazione dei punti di discontinuità
- Concetto di continuità in relazione con le operazioni algebriche, la composizione, l’inversione, la monotonia
- Principali teoremi per funzioni continue definite su un intervallo
Calcolo differenziale (16 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Introduzione al concetto di derivata passando per il suo significato geometrico e classificazione dei punti di non derivabilità
- Relazione tra continuità e derivabilità
- Concetto di derivabilità in relazione con le principali operazioni algebriche, la composizione, l’inversione e la monotonia
- Punti critici e ricerca dei punti di estremo locale di una funzione
- Principali teoremi per funzioni derivabili su un intervallo
- Teorema di de L’Hopital e conseguenze utili al fine del calcolo di limiti e derivate
- Concetto di concavità/convessità, relativo significato geometrico, punti di flesso e relazione con il segno della derivata seconda
- Ricapitolazione dei vari passaggi finalizzati a compiere uno studio di funzione completo
- Polinomi di Taylor e MacLaurin come applicazione del concetto di derivata e come strumenti per il calcolo di limiti
Integrali (12 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Introduzione al concetto di integrale di Riemann mediante somme inferiori e superiori e sue proprietà
- Funzioni integrali e teorema fondamentale del calcolo integrale come strumento effettivo per il calcolo degli integrali passando per il concetto di primitiva
- Tecniche di integrazione per parti e per sostituzione
Serie numeriche (6 ore, obiettivi formativi 1-4)
- Concetto di serie come limite della successione delle somme parziali
- Alcune serie note: serie di Mengoli, serie geometrica, serie armonica
- Condizione necessaria di convergenza
- Serie a termini non negativi e criteri di convergenza sufficienti per queste
- Serie a segno variabile e concetto di convergenza assoluta
- Serie a segni alterni e criterio di Leibnitz
Numeri complessi (4 ore, obiettivi formativi 1-3)
- Forma algebrica e trigonometrica di un numero complesso
- Operazioni tra numeri complessi, modulo, potenza e coniugato di un numero complesso
- Radici complesse e cenno al teorema fondamentale dell'algebra
Lingua Insegnamento
Italiano
Corsi
Corsi
INFORMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
Persone (2)
Docenti
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