ID:
SCC0635
Durata (ore):
64
CFU:
8
SSD:
GEOMETRIA
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (23/02/2026 - 12/06/2026)
Syllabus
Obiettivi Formativi
L'obiettivo del corso è quello di fornire agli studenti i concetti di base della geometria differenziale e delle strutture geometriche. Le varietà differenziali sono gli spazi naturali sui quali può essere introdotta la nozione di differenziabilità di una mappa e dove gli strumenti classici dell'analisi possono essere sviluppati ed estesi. Inoltre, sulle varietà si può fare geometria. Si possono adattare le idee della geometria euclidea piana a spazi curvi, o introdurre nuove geometrie; in molti casi, è la Fisica a suggerire quali di queste geometrie giochino un ruolo rilevante.
Al termine del corso ci si attende che studentesse e studenti:
1) abbiano acquisito le principali nozioni e i teoremi fondamentali della teoria delle varietà differenziali e delle strutture geometriche su di loro definite;
2) siano in grado, sulla base delle dimostrazioni apprese a lezione, di compiere autonomamente dei ragionamenti di media complessità, per dedurre proprietà di natura astratta di questi oggetti;
3) sappiano individuare su esempi concreti le principali proprietà degli oggetti sopra elencati.
Al termine del corso ci si attende che studentesse e studenti:
1) abbiano acquisito le principali nozioni e i teoremi fondamentali della teoria delle varietà differenziali e delle strutture geometriche su di loro definite;
2) siano in grado, sulla base delle dimostrazioni apprese a lezione, di compiere autonomamente dei ragionamenti di media complessità, per dedurre proprietà di natura astratta di questi oggetti;
3) sappiano individuare su esempi concreti le principali proprietà degli oggetti sopra elencati.
Prerequisiti
Il calcolo, in una e più variabili reali, verrà usato sin dalle prime lezioni del corso. È richiesta inoltre una conoscenza approfondita di topologia, come acquisita nel corso di Geometria 1. Anche il contenuto del corso di Geometria 2 sarà d’aiuto.
Metodi didattici
Le modalità didattiche prevedono lezioni in presenza, che possono, all’occorrenza, essere registrate.
Il metodo di insegnamento prevede:
1) lezioni frontali, di carattere teorico, nelle quali presenterò agli studenti le nozioni chiave del corso.
2) L'assegnazione di esercizi, il cui obiettivo è applicare il contenuto teorico visto a lezione.
3) Esercitazioni, di carattere pratico, durante le quali verranno presentate e discusse le soluzioni agli esercizi assegnati; l'idea è che gli studenti giochino un ruolo chiave durante le lezioni pratiche.
Il metodo di insegnamento prevede:
1) lezioni frontali, di carattere teorico, nelle quali presenterò agli studenti le nozioni chiave del corso.
2) L'assegnazione di esercizi, il cui obiettivo è applicare il contenuto teorico visto a lezione.
3) Esercitazioni, di carattere pratico, durante le quali verranno presentate e discusse le soluzioni agli esercizi assegnati; l'idea è che gli studenti giochino un ruolo chiave durante le lezioni pratiche.
Verifica Apprendimento
La verifica dell'apprendimento si articola su due livelli:
1) L’assegnazione di un argomento, concordato tra discente e docente, da esporre durante un colloquio orale. Lo scopo di questa parte dell’esame è verificare la capacità di elaborazione in autonomia di concetti simili a quelli trattati a lezione.
2) Un esame orale tradizionale nel quale è richiesto di spiegare le definizioni di base del corso e di discutere le dimostrazioni dei principali teoremi. Sarà inoltre richiesto di risolvere semplici esercizi simili a quelli assegnati durante il semestre.
È possibile svolgere i due colloqui orali separatamente.
Il voto finale dell'esame, in trentesimi, è un giudizio complessivo su ciascuna delle parti del colloquio orale.
1) L’assegnazione di un argomento, concordato tra discente e docente, da esporre durante un colloquio orale. Lo scopo di questa parte dell’esame è verificare la capacità di elaborazione in autonomia di concetti simili a quelli trattati a lezione.
2) Un esame orale tradizionale nel quale è richiesto di spiegare le definizioni di base del corso e di discutere le dimostrazioni dei principali teoremi. Sarà inoltre richiesto di risolvere semplici esercizi simili a quelli assegnati durante il semestre.
È possibile svolgere i due colloqui orali separatamente.
Il voto finale dell'esame, in trentesimi, è un giudizio complessivo su ciascuna delle parti del colloquio orale.
Contenuti
I contenuti principali del corso sono:
1) Varietà differenziali: esempi e costruzioni, spazio e fibrato tangente, campi vettoriali e curve integrali.
2) Tensori e forme differenziali: algebra tensoriale ed esterna, differenziale esterno, derivata di Lie.
3) Integrazione su varietà: il teorema di Stokes.
4) Teoria delle connessioni: connessioni affini, parallelismo, trasporto parallelo, torsione, curvatura e geodetiche.
5) Metriche riemanniane: connessioni metriche, connessione di Levi-Civita, il tensore di curvatura di Riemann
1) Varietà differenziali: esempi e costruzioni, spazio e fibrato tangente, campi vettoriali e curve integrali.
2) Tensori e forme differenziali: algebra tensoriale ed esterna, differenziale esterno, derivata di Lie.
3) Integrazione su varietà: il teorema di Stokes.
4) Teoria delle connessioni: connessioni affini, parallelismo, trasporto parallelo, torsione, curvatura e geodetiche.
5) Metriche riemanniane: connessioni metriche, connessione di Levi-Civita, il tensore di curvatura di Riemann
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Per il ricevimento, si consiglia di contattare il docente all’indirizzo e-mail, giovanni.bazzoni@uninsubria.it
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
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