ID:
SCC0050
Durata (ore):
86
CFU:
9
SSD:
ALGEBRA
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (22/09/2025 - 16/01/2026)
Syllabus
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI L'obiettivo dell’insegnamento è fornire agli studenti la giustificazione rigorosa di risultati dell’aritmetica elementare già noti dalle scuole superiori e di introdurli allo studio delle strutture algebriche astratte. RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di: Utilizzare gli algoritmi principali dell’aritmetica dei numeri naturali e spiegare perché portano al risultato atteso. Utilizzare con proprietà il linguaggio matematico e presentare dimostrazioni in maniera coerente e consapevole. Stabilire se un’operazione definita in un insieme soddisfi o meno certe proprietà. Riconoscere se una struttura algebrica data soddisfi certi assiomi.
Prerequisiti
Normali conoscenze di matematica della scuola superiore.
Metodi didattici
Lezioni frontali. La frequenza non è obbligatoria, tuttavia la presenza in aula è estremamente utile, dato che la partecipazione attiva alle lezioni facilita il processo di apprendimento. Durante le lezioni il docente utilizza la lavagna o un tablet su cui scrive quanto sta spiegando: salvo problemi tecnici, quanto scritto sul tablet viene successivamente messo a disposizione degli studenti tramite sito web del corso e/o piattaforma di e-learning, La presentazione degli argomenti è sempre accompagnata da esercizi finalizzati alla comprensione e all’applicazione delle nozioni e dei risultati presentati. La soluzione degli esercizi è presentata talvolta immediatamente e talvolta in una lezione successiva in modo che gli studenti possano provare a risolvere l’esercizio in autonomia. Durante il corso (soprattutto verso il termine) verranno proposte anche sedute di esercizi di ricapitolazione, per abituare gli studenti a scegliere il metodo e il percorso risolutivo più adatto e mettere in collegamento risultati presentati in momenti differenti del corso.
Verifica Apprendimento
Prova scritta e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da 4 o 5 esercizi divisi in sottoquesiti. Nello scritto è richiesta la capacità di verificare proprietà delle strutture algebriche,e di giustificare tutte le affermazioni fatte. Alla prova scritta viene assegnato un punteggio analitico in trentesimi che non costituisce voto finale. Per poter accedere alla prova orale è richiesto un punteggio minimo di 14/30 nella prova scritta.
La prova orale consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.
Una prova intermedia scritta è riservata agli studenti iscritti al primo anno di corso: la prova intermedia verrà valutata con un punteggio da 0 a 5 che verrà sommato all’esito della prova scritta ordinaria.
Il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipendono dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.
Una descrizione più dettagliata del regolamento d’esame può essere trovata sul sito del corso.
Contenuti
INSIEMI. Corrispondenze. Applicazioni tra insiemi. Composizione di applicazioni. Associatività. Applicazioni iniettive, suriettive e biiettive. Inversa di un'applicazione biiettiva. Relazioni in un insieme. Relazione di equivalenza. Relazione d'ordine parziale e totale. MATRICI. Operazioni tra matrici. Matrice trasposta. Matrici diagonali e triangolari. NUMERI INTERI. Proprietà delle operazioni negli interi. Ordinamento negli interi. Principio di induzione. Divisione tra numeri interi. Massimo comun divisore. Identità di Bezout. Caratterizzazione dei primi. Algoritmo Euclideo. Fattorizzazione in primi. Esistenza di infiniti numeri primi. Congruenze modulo un intero. Classi di resto e operazioni. L'anello delle classi di resto. Legge di cancellazione e elementi invertibili modulo n. Congruenze con incognite. Teorema cinese del resto. Funzione di Eulero. GRUPPI. Operazioni binarie. Monoidi. Gruppi. Monoidi e gruppi commutativi. Trasformazioni del piano. Gruppo trirettangolo di Klein. Gruppo diedrale. Leggi di cancellazione. Tavole moltiplicative. Sottogruppi. Criteri per sottogruppi. Intersezione di sottogruppi. Sottogruppo generato da sottoinsieme. Descrizione esplicita degli elementi del sottogruppo generato da un insieme. Centralizzante di un elemento di un gruppo. Centro di un gruppo. Gruppo simmetrico. Cicli nel gruppo simmetrico. Cicli disgiunti. Scambi nel gruppo di permutazioni. Parità di una permutazione. Gruppo alterno. Potenze di un elemento in un gruppo e in un monoide. Periodo di un elemento. Gruppi ciclici. Sottogruppi di un gruppo ciclico e loro posizione reciproca. Numero degli elementi di dato ordine in un gruppo ciclico. Laterali destri e sinistri di un sottogruppo. Indice di un sottogruppo. Teorema di Lagrange. Prodotto di sottogruppi. Omomorfismi tra monoidi e gruppi. Nucleo e immagine di un omomorfismo. Omomorfismi da gruppi ciclici. Endomorfismi di gruppi ciclici. Immagini dirette e inverse di sottogruppi. Azioni di un gruppo su un insieme. Azione banale. Orbite e stabilizzatori. Equazione delle orbite. Coniugio in un gruppo e classi di coniugio. Centro di un p-gruppo finito. Sottogruppi normali. Coniugati nel gruppo simmetrico e nel gruppo alterno. Congruenze in monoidi e gruppi. Monoidi e gruppi quoziente. Congruenze in gruppi e sottogruppi normali. Quoziente sul centro. Teoremi di isomorfismo. Prodotto di sottogruppi normali. Prodotto diretto interno ed esterno di gruppi. Prodotto diretto di gruppi ciclici. Prodotto semidiretto interno ed esterno di gruppi. Inversione del teorema di Lagrange per gruppi abeliani e p-gruppi. Teorema di Sylow con applicazione a problemi di classificazione. Classificazione dei gruppi di ordine un quadrato di una potenza di un primo.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente è disponibile per rispondere a brevi domande, subito prima o subito dopo ciascuna lezione. Per spiegazioni individuali più approfondite, il docente riceve gli studenti su appuntamento che può essere fissato o direttamente al termine di una lezione o per email (valerio.monti@uninsubria.it). Il sito del corso riporta varie informazioni utili e viene aggiornato regolarmente anche durante lo svolgimento del corso. Per maggiori dettagli consultare il sito del corso (algebrainsubria.altervista.org).
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MATEMATICA
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