ID:
SCC0511
Durata (ore):
64
CFU:
8
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (24/02/2025 - 13/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso si propone di approfondire lo studio dell’analisi moderna iniziato nei corsi precedenti.
Lo studente acquisirà una conoscenza operativa dei metodi dell’analisi avanzata. Conoscerà gli enunciati e le dimostrazioni principali, e sarà in grado di risolvere esercizi, anche di natura teorica, relativi agli argomenti trattati. Avrà inoltre acquisito un bagaglio di tecniche dimostrative che potrà utilizzare per riconoscere la validità di ragionamenti matematici, anche sofisticati, e per dimostrare autonomamente risultati collegati a quelli presentati durante il corso. Infine sarà in grado di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso.
Lo studente acquisirà una conoscenza operativa dei metodi dell’analisi avanzata. Conoscerà gli enunciati e le dimostrazioni principali, e sarà in grado di risolvere esercizi, anche di natura teorica, relativi agli argomenti trattati. Avrà inoltre acquisito un bagaglio di tecniche dimostrative che potrà utilizzare per riconoscere la validità di ragionamenti matematici, anche sofisticati, e per dimostrare autonomamente risultati collegati a quelli presentati durante il corso. Infine sarà in grado di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso.
Prerequisiti
Il contenuto dei corsi di analisi matematica 1, 2 e 3, algebra lineare e geometria, geometria 1.
Metodi didattici
Lezioni frontali: 64 ore
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche. Esercizi di natura teorica assegnati per compito e corretti a lezione forniranno agli studenti la capacità di applicare le tecniche dimostrative generali descritte a lezione in situazioni particolari.
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche. Esercizi di natura teorica assegnati per compito e corretti a lezione forniranno agli studenti la capacità di applicare le tecniche dimostrative generali descritte a lezione in situazioni particolari.
Verifica Apprendimento
- Esercizi a casa che verificano l'acquisizione di una conoscenza operativa delle materia e la capacità di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di applicare le tecniche illustrate a lezione per produrre autonomamente dimostrazioni simili a quelli visti a lezione;
- Esame orale finale orale dedicato alla discussione degli esercizi svolti e alla dimostrazione di alcuni teoremi visti a lezione. In questa parte si verifica la conoscenza approfondita degli argomenti svolti a lezione, la capacita' di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di riconoscere la validita' di ragionamenti matematici anche sofisticati.
Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sarà la media aritmetica dei voti delle 2 parti.
- Esame orale finale orale dedicato alla discussione degli esercizi svolti e alla dimostrazione di alcuni teoremi visti a lezione. In questa parte si verifica la conoscenza approfondita degli argomenti svolti a lezione, la capacita' di esprimersi in linguaggio matematico rigoroso e di riconoscere la validita' di ragionamenti matematici anche sofisticati.
Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sarà la media aritmetica dei voti delle 2 parti.
Contenuti
Introduzione all'analisi funzionale. Spazi normati e spazi di Banach. Esempi. Spazi di dimensione finita. Spazi Lp. Teorema di Riesz-Fisher. Teorema di Hahn-Banach e conseguenze. Riflessività. Teoremi di Baire, di Uniforme Limitatezza, dell'Applicazione Aperta e del Grafico Chiuso e applicazioni. Topologie deboli e convergenza debole e debole stella. Teoremi di compattezza per successione nelle topologie deboli. Teorema di Banach-Alaoglu.
Spazi di Hilbert. Perpendicolarità, e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale dgli spazi di Hilbert. Basi ortonormali in L2(-\pi,\pi). Polinomi trigonometrici e serie di Fourier sul toro. Teoria L2: disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval e Plancherel. Convergenza puntuale. Disuguaglianza isoperimetrica in R2.
Misure con segno e misure complesse: Variazione assoluta, e teoremi di decomposizione di Hahn e di Lebesgue. Teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione del duale degli Lp.
Differenziazione di Lebesgue: differenziazione di funzioni monotone, funzioni a variazione limitata, differenziazione di un integrale, e funzioni assolutamente continue, teorema di caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue.
Convoluzione in Rn, disuguaglianza integrale di Minkowski e teorema di Young. Nuclei regolarizzanti. Introduzione alla misura di Hausdorff.
Spazi di Hilbert. Perpendicolarità, e basi ortonormali. Teorema di rappresentazione di Riesz e duale dgli spazi di Hilbert. Basi ortonormali in L2(-\pi,\pi). Polinomi trigonometrici e serie di Fourier sul toro. Teoria L2: disuguaglianza di Bessel e identità di Parseval e Plancherel. Convergenza puntuale. Disuguaglianza isoperimetrica in R2.
Misure con segno e misure complesse: Variazione assoluta, e teoremi di decomposizione di Hahn e di Lebesgue. Teorema di Radon-Nikodym. Caratterizzazione del duale degli Lp.
Differenziazione di Lebesgue: differenziazione di funzioni monotone, funzioni a variazione limitata, differenziazione di un integrale, e funzioni assolutamente continue, teorema di caratterizzazione delle funzioni assolutamente continue.
Convoluzione in Rn, disuguaglianza integrale di Minkowski e teorema di Young. Nuclei regolarizzanti. Introduzione alla misura di Hausdorff.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per appuntamento da fissare o al termine delle lezioni o scrivendo all’indirizzo alberto.setti@uninsubria.it
Corsi
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MATEMATICA
Laurea
3 anni
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Persone
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