SCC0515 - FISICA QUANTISTICA I

Dopo un’introduzione qualitativa alle idee della meccanica quantistica, servendosi di analogie con l’ottica per aiutare lo studente a familiarizzarsi con i nuovi concetti introdotti, si passerà alla risoluzione dell’equazione di Schrödinger per problemi unidimensionali. Si presenteranno quindi, in modo sistematico, il formalismo matematico e i postulati della meccanica quantistica. Le conseguenze fisiche dei postulati verranno illustrate mediante semplici sistemi modello, quali i sistemi a due livelli e l’oscillatore armonico.

Programma del corso:

1) Introduzione qualitativa alla meccanica quantistica: quanti di luce, relazioni di Planck-Einstein, dualismo onda-corpuscolo, l’esperienza delle due fenditure, le relazioni di de Broglie, funzione d’onda, equazione di Schrödinger, pacchetti d’onda, velocità di fase e velocità di gruppo, relazione di indeterminazione per le onde, principio di indeterminazione di Heisenberg.

2) Risoluzione dell’equazione di Schrödinger per problemi unidimensionali: evoluzione libera di un pacchetto gaussiano, equazione di Schrödinger per gli stati stazionari, coefficienti di riflessione e trasmissione, onde evanescenti, delay time, stati legati, matrice di scattering, illustrando tali concetti mediante sistemi modello quali il gradino di potenziale, la barriera quadrata di potenziale, la buca quadrata di potenziale, il potenziale δ di Dirac, la doppia buca δ di Dirac, l’oscillatore armonico.

3) Formalismo matematico della meccanica quantistica: spazio delle funzioni d’onda di singola particella, operatori lineari, basi ortonormali discrete e “basi” ortonormali continue, relazione di chiusura, notazione di Dirac, ket e ket generalizzati, rappresentazioni nello spazio di Hilbert, cambio di rappresentazione nella notazione di Dirac, osservabili, set completo di osservabili commutanti, rappresentazione delle coordinate e dei momenti, equazione di Schrödinger nella rappresentazione delle coordinate e nella rappresentazione dei momenti, prodotto tensoriale di spazi di Hilbert, non separabilità quantistica, prodotto tensoriale di operatori.

4) Postulati della meccanica quantistica: stato di un sistema fisico, principio di sovrapposizione, osservabili, probabilità dei risultati di una misura, riduzione del pacchetto d’onda, evoluzione dinamica di un sistema quantistico, valor medio di un’osservabile e sua deviazione standard, teorema di Robertson, misure compatibili e non, preparazione di uno stato quantistico, operatore di evoluzione temporale, evoluzione del valor medio di un’osservabile, teorema di Ehrenfest, evoluzione dinamica degli operatori in descrizione di Heisenberg, frequenze di Bohr, relazione di indeterminazione energia-tempo.

5) Applicazione dei postulati della meccanica quantistica a sistemi modello: sistemi a due livelli, rappresentazione della sfera di Bloch, esperimento di Stern-Gerlach, evoluzione dinamica di uno spin ½ in un campo magnetico statico, precessione di Larmor, evoluzione dinamica di uno spin ½ in un campo magnetico statico e in uno oscillante, oscillazioni di Rabi, condizione di risonanza, stati entangled, paradosso di Einstein-Podolsky-Rosen e disuguaglianze di Bell, stati puri e stati miscela, matrice densità, calcolo degli autovalori e degli autostati dell’oscillatore armonico mediante gli operatori di creazione e distruzione.