Il corso è il naturale proseguimento del corso di analisi matematica 1 e ha come obiettivo formativo l’ampliamento delle conoscenze dell’analisi classica e moderna iniziato nel corso precedente. Risultati di apprendimento attesi: Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di: 1. Comprendere i metodi dell’analisi matematica; 2. enunciare e dimostrare i principali teoremi; 3. risolvere esercizi, anche di natura teorica, relativi agli argomenti trattati; 4. dimostrare in autonomia i risultati collegati a quelli presentati durante il corso.
Prerequisiti
Analisi Matematica I, Algebra lineare e geometria.
Metodi didattici
Lezioni frontali (presentazione mediante proiezione o lavagna) ed esercizi da svolgere a casa, che, in generale, saranno corretti sia dal docente che dall’esercitatore.
Verifica Apprendimento
L'esame consiste di due parti. Esame scritto: durata 3 ore con esercizi (4/5) sui temi sviluppati nel corso in modo da verificarne il livello di competenze acquisito. Esame orale: dopo il superamento della prova scritta per valutare il livello di conoscenze raggiunto.
Contenuti
1) Spazi metrici, spazi metrici completi, insiemi sequenzialmente compatti e loro proprietà, funzioni continue, 2) Teorema delle contrazioni. 3) Spazi normati, operatori lineari tra spazi normati. Norme equivalenti. 4) Funzioni da R^n in R^m. Continuità e differenziabilità. Derivate direzionali, gradiente e matrice Jacobiana. Condizione sufficiente per la differenziabilità. Differenziabilità della funzione composta. 5) Teorema dell’incremento finito. Differenziale nullo su insiemi connessi. 6) Differenziale secondo e derivate parziali seconde. 7) Formula di Taylor con resto di Peano e Lagrange. 8) Funzioni implicite. Teorema di esistenza e unicità locale. 9) Massimi e minimi. Condizioni del primo ordine. 10) Matrice Hessiana, condizioni sufficienti. 11) Estremanti vincolati. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. 12) Misura di Peano in R^n. Insiemi misurabili secondo Peano. 13) Integrazione sui rettangoli. Teorema di riduzione. Integrale di Riemann su insiemi misurabili. 14) Equazioni e sistemi differenziali del primo ordine in forma normale. Soluzioni. 15) Teorema di esistenza e unicità locale del problema di Cauchy. 16) Cenno al prolungamento e alle soluzioni massimali. 17) Condizioni sufficienti per l’esistenza in grande. 18) Equazioni di ordine n. Equazioni lineari di ordine n. Soluzioni indipendenti e spazio delle soluzioni. 19) Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per chiarimenti e approfondimenti previo appuntamento da fissarsi scrivendo all’indirizzo mail marco.magliaro@uninsubria.it
