Il corso è una naturale continuazione del corso di analisi matematica 2. Ha lo scopo di approfondire lo studio dell'analisi classica e moderna iniziata nell'anno precedente. Lo studente acquisirà una conoscenza più avanzata dei metodi dell’analisi classica, degli enunciati e delle dimostrazioni dei principali risultati, svilupperà ulteriormente le proprie competenze e sarà in grado di risolvere esercizi, anche teorici, relativi agli argomenti trattati.
Prerequisiti
Analisi matematica 1 e 2, algebra lineare e geometria, geometria 1
Metodi didattici
Lezioni frontali (presentazione mediante proiezione o lavagna) ed esercizi da svolgere a casa, che, in generale, saranno corretti sia dal docente che dall’esercitatore.
Verifica Apprendimento
L'esame è diviso in due parti Esame scritto: durata 3 ore con esercizi (4/5) sui temi sviluppati nel corso in modo da verificarne il livello di competenze acquisito. Esame orale: dopo il superamento della prova scritta per valutare il livello di conoscenze raggiunto.
Contenuti
1) Successioni e serie di funzioni. Convergenza uniforme e totale. Teorema del doppio limite. Convergenza uniforme e differenziabilità. Una funzione continua mai differenziabile. Teorema di approssimazione di Weierstrass. Spazio di funzioni continue su insiemi compatti. Insiemi equicontinui ed equilimitati. Teorema di Ascoli-Arzelà 2) Complementi sulle equazioni differenziali ordinarie: teorema dell'esistenza di Peano, estensione delle soluzioni. Studio qualitativo dell'equazione differenziale. Applicazioni a problemi geometrici e fisici. 3) Sigma-algebre e misure. Funzioni misurabili. Integrale di funzioni positive. Teorema della convergenza monotona. Il lemma di Fatou. Funzioni integrabili. Teorema della convergenza dominata. Misura di Lebesgue in R e R ^ n. Misura su algebra e semi-algebra. Teorema di estensione di Caratheodory. Funzione di distribuzione delle misure in R. Misura prodotto. Teoremi di Fubini e Tonelli. Integrali dipendenti da un parametro. Cenni sulle funzioni Gamma e Beta. Formula Stirling. 4) Curve e superfici. Lunghezza di una curva e superficie (formule). Integrazione su curve. Forme differenziali lineari. Integrazione di forme differenziali. Forme esatte e forme chiuse. Condizioni necessarie e sufficienti. Applicazioni alle equazioni differenziali. La formula di Gauss-Green.
Lingua Insegnamento
Italiano
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per chiarimenti e approfondimenti previo appuntamento da fissarsi scrivendo all’indirizzo mail istituzionale. emanuele.casini@uninsubria.it