ID:
SCC0005
Durata (ore):
60
CFU:
6
SSD:
ANALISI MATEMATICA
Anno:
2024
Dati Generali
Periodo di attività
Secondo Semestre (17/02/2025 - 13/06/2025)
Syllabus
Obiettivi Formativi
Il corso si propone di fornire allo studente metodi e tecniche fondamentali dell'Algebra Lineare, del Calcolo Differenziale ed Integrale in più variabili e le tecniche risolutive delle piu significative equazioni differenziali ordinarie. Ulteriore obiettivo è la preparazione dello studente all'applicazione di tali strumenti in problemi di interesse in ambito chimico.
Lo studente avrà una conoscenza operativa dei concetti di base dell'algebra lineare, saprà discutere continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili e risolvere semplici problemi di ottimizzazione. Saprà inoltre calcolare integrali in R2 o R3, anche utilizzando i più comuni cambiamenti di variabile. Sarà infine in grado di discutere esistenza e unicita' del problema di Cauchy relativo alle più comuni equazioni differenziali ordinarie e di calcolare le corrispondenti soluzioni.
Lo studente avrà una conoscenza operativa dei concetti di base dell'algebra lineare, saprà discutere continuità e differenziabilità di funzioni di più variabili e risolvere semplici problemi di ottimizzazione. Saprà inoltre calcolare integrali in R2 o R3, anche utilizzando i più comuni cambiamenti di variabile. Sarà infine in grado di discutere esistenza e unicita' del problema di Cauchy relativo alle più comuni equazioni differenziali ordinarie e di calcolare le corrispondenti soluzioni.
Prerequisiti
Lo studente deve conoscere i metodi dell'analisi delle funzioni di una variabile. Propedeuticita': Matematica I
Metodi didattici
Lezioni frontali 24 ore, esercitazioni, 36 ore.
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche e descritte le tecniche di calcolo necessarie per l’applicazione della teoria alla risoluzione di esercizi e di problemi anche di natura pratica. Le tecniche di calcolo sono poi approfondite e consolidate durante le esercitazioni frontali dedicate alla risoluzione di ulteriori esercizi e problemi, anche tratti da liste di esercizi assegnati durante le lezioni o proposti dagli studenti.
Nelle lezioni frontali vengono sviluppate le nozioni teoriche e descritte le tecniche di calcolo necessarie per l’applicazione della teoria alla risoluzione di esercizi e di problemi anche di natura pratica. Le tecniche di calcolo sono poi approfondite e consolidate durante le esercitazioni frontali dedicate alla risoluzione di ulteriori esercizi e problemi, anche tratti da liste di esercizi assegnati durante le lezioni o proposti dagli studenti.
Verifica Apprendimento
L’esame è diviso in tre parti:
- Una prova scritta che consiste nella soluzione di tre-cinque esercizi che coprono i principali argomenti studiati nel corso, e che verifica l’abilità degli studenti di applicare le tecniche di calcolo apprese a lezione;
- Una seconda parte scritta che copre gli aspetti teorici del corso, consistente nell’enunciare e dimostrare alcuni dei teoremi visti nel corso, e che verifica la comprensione della teoria soggiacente e la sua applicazione nella risoluzione degli esercizi;
- Un colloquio orale, che segue immediatamente la seconda prova scritta, che consiste nella discussione dei due scritti, dove si verifica la capacità dello studente di esprimersi in linguaggio matematico corretto e di riconoscere autonomamente la validità di un ragionamento matematico.
Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sarà la media aritmetica dei voti delle 3 parti. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 14/30 nella prima prova scritta.
- Una prova scritta che consiste nella soluzione di tre-cinque esercizi che coprono i principali argomenti studiati nel corso, e che verifica l’abilità degli studenti di applicare le tecniche di calcolo apprese a lezione;
- Una seconda parte scritta che copre gli aspetti teorici del corso, consistente nell’enunciare e dimostrare alcuni dei teoremi visti nel corso, e che verifica la comprensione della teoria soggiacente e la sua applicazione nella risoluzione degli esercizi;
- Un colloquio orale, che segue immediatamente la seconda prova scritta, che consiste nella discussione dei due scritti, dove si verifica la capacità dello studente di esprimersi in linguaggio matematico corretto e di riconoscere autonomamente la validità di un ragionamento matematico.
Ciascuna parte verrà valutata con un voto in trentesimi, e il voto finale, se maggiore o uguale a 18, sarà la media aritmetica dei voti delle 3 parti. Per essere ammessi alla prova orale è necessario aver ottenuto un punteggio di almeno 14/30 nella prima prova scritta.
Contenuti
Algebra lineare, calcolo integrale e differenziale in più variabili, equazioni differenziali ordinarie.
In dettaglio:
Spazi vettoriali, dipendenza ed indipendenza lineare, sottospazi, basi. Rn come spazio vettoriale: operazioni, prodotto scalare e prodotto vettoriale in R3. Rette in Rn e piani in R3. Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali. Nucleo e immagine. Nucleo e iniettività. Teorema di nullità e rango.
Matrici e operazioni sulle matrici. Matrici e trasformazioni lineari.
Determinante: formula di Laplace e proprieta' di multilinearità. Invertibilità e determinante. Teorema di Binet. Rango di una matrice.
Sistemi lineari e matrici. Teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.
Autovalori ed autovettori. Diagonalizzabilità di una trasformazione lineare e della corrispondente matrice. Equazione caratteristica di una matrice ed autovalori. Spazi con prodotto interno. Matrici simmetriche ed ortogonali. Autovalori ed autovettori di matrici simmetriche e loro diagonalizzabilità.
Calcolo differenziale in più variabili: Continuità, derivate direzionali. Differenziabilità e conseguenze Gradiente, linee di livello.
Teoremi di differenziazione. Teorema della funzione implicita. Differenziabilità di ordine superiore. Matrice hessiana. Formula di Taylor arrestata al 2o ordine.
Massimi e minimi. Definizioni. Condizioni necessarie. Punti stazionari. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti perchè un punto stazionionario sia estrmante in termini del segno degli autovalori dell'hessiana. Massimi e minimi vincolati. Metodo parametrico. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi su insiemi chiusi.
Integrali multipli: Definizione e proprietà. Metodi di calcolo come iterazione di integrali di una variabile. integrazione. Cambiamento di variabile in R2: coordinate polari, ellittiche, iperboliche. Cambiamento di variabili in R3: coordinate cilindriche, polari, elissoidali.
Equazioni differenziali. Classificazione e proprietà. Teorema di esistenza e di unicità locale di Peano-Cauchy. Equazioni a variabili separabili, omogenee, lineari del primo ordine, di Bernoulli. Equazioni lineari di ordine superiore: struttura dello spazio delle soluzioni. Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti. Equazioni omogenee e non omogenee: il metodo di similitudine, il metodo di variazione delle costanti. Sistemi lineari di ordine 1.
In dettaglio:
Spazi vettoriali, dipendenza ed indipendenza lineare, sottospazi, basi. Rn come spazio vettoriale: operazioni, prodotto scalare e prodotto vettoriale in R3. Rette in Rn e piani in R3. Trasformazioni lineari tra spazi vettoriali. Nucleo e immagine. Nucleo e iniettività. Teorema di nullità e rango.
Matrici e operazioni sulle matrici. Matrici e trasformazioni lineari.
Determinante: formula di Laplace e proprieta' di multilinearità. Invertibilità e determinante. Teorema di Binet. Rango di una matrice.
Sistemi lineari e matrici. Teoremi di Rouchè-Capelli e di Cramer.
Autovalori ed autovettori. Diagonalizzabilità di una trasformazione lineare e della corrispondente matrice. Equazione caratteristica di una matrice ed autovalori. Spazi con prodotto interno. Matrici simmetriche ed ortogonali. Autovalori ed autovettori di matrici simmetriche e loro diagonalizzabilità.
Calcolo differenziale in più variabili: Continuità, derivate direzionali. Differenziabilità e conseguenze Gradiente, linee di livello.
Teoremi di differenziazione. Teorema della funzione implicita. Differenziabilità di ordine superiore. Matrice hessiana. Formula di Taylor arrestata al 2o ordine.
Massimi e minimi. Definizioni. Condizioni necessarie. Punti stazionari. Condizioni necessarie e condizioni sufficienti perchè un punto stazionionario sia estrmante in termini del segno degli autovalori dell'hessiana. Massimi e minimi vincolati. Metodo parametrico. Metodo dei moltiplicatori di Lagrange. Massimi e minimi su insiemi chiusi.
Integrali multipli: Definizione e proprietà. Metodi di calcolo come iterazione di integrali di una variabile. integrazione. Cambiamento di variabile in R2: coordinate polari, ellittiche, iperboliche. Cambiamento di variabili in R3: coordinate cilindriche, polari, elissoidali.
Equazioni differenziali. Classificazione e proprietà. Teorema di esistenza e di unicità locale di Peano-Cauchy. Equazioni a variabili separabili, omogenee, lineari del primo ordine, di Bernoulli. Equazioni lineari di ordine superiore: struttura dello spazio delle soluzioni. Equazioni lineari di ordine n a coefficienti costanti. Equazioni omogenee e non omogenee: il metodo di similitudine, il metodo di variazione delle costanti. Sistemi lineari di ordine 1.
Lingua Insegnamento
italiano
Altre informazioni
Il docente risponde a domande sul corso e a richieste di appuntamento al suo e-mail alberto.setti@uninsubria.it
Corsi
Corsi
3 anni
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Persone
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