ID:
SCC1158
Durata (ore):
48
CFU:
6
SSD:
GEOMETRIA
Anno:
2025
Dati Generali
Periodo di attività
Primo Semestre (22/09/2025 - 16/01/2026)
Syllabus
Obiettivi Formativi
OBIETTIVI FORMATIVI Il corso ha come obiettivo fornire agli studenti una adeguata introduzione alla geometria iperbolica, alfine di fornire loro un significativo esempio di teoria geometrica di importanza storica e tuttora di grande interesse per la ricerca, con tante connessioni ad altre teorie matematiche e fisiche. Gli studenti alla fine del corso dovrebbero potersi orientare nella letteratura esistente su alcuni sviluppi ed applicazioni della geometria iperbolica
Prerequisiti
Geometria 1, geometria 2. Può essere utile, ma non indispensabile, aver seguito il corso Fundamentals of Advanced Geometry della Laurea triennale, o l'equivalente Topics in Advanced Geometry della laurea magistrale in matematica
Metodi didattici
Lezioni frontali, 64 ore, che includono parti dedicate al calcolo esplicito di esempi. Durante il corso verranno elaborate delle note messe settimanalmente a disposizione su e-learning.
Verifica Apprendimento
Esame orale, durante il quale verrà chiesto lo sviluppo di qualche esempi0 concreto, già trattato a lezione, e verranno verificate le competenze teoriche acquisite. Precisamente agli studenti verranno dati degli argomenti da trattare in un seminario, che usi gran parte dele basi teoriche apprese durante il corso e comportino anche lo sviluppo di dimostrazioni dettagliate da oerte degli studenti.
Contenuti
I. Fondamenti di Geometria Iperbolica * Modelli dello Spazio Iperbolico: * Il Piano Iperbolico (H2): Modello del semipiano superiore, modello del disco di Poincaré, modello di Klein. Metriche, geodetiche, angoli, isometrie. * Spazio Iperbolico di dimensione superiore (Hn): Introduzione al modello iperboloide e ad altri modelli. * Proprietà Geometriche: * Triangoli nello spazio iperbolico: Difetto d'angolo, formula dell'area. * Orocicli e orosfere. * Il gruppo delle isometrie di Hn. * Volume iperbolico. * Varietà iperboliche: * Definizione ed esempi (quozienti di Hn per gruppi discreti di isometrie). * Domini fondamentali e domini di Dirichlet. * Varietà iperboliche compatte e non compatte. II. Gruppi Fuchsiani e Superfici di Riemann (16 ore) * Gruppi discreti di Isometrie di H₂ (Gruppi Fuchsiani): * Definizione ed esempi. * Relazione con le superfici di Riemann tramite il teorema di uniformizzazione (enunciato e implicazioni). * Spazio di Teichmüller (introduzione al concetto di moduli delle superfici di Riemann). * La metrica di Weil-Petersson sullo spazio di Teichmüller. III. Biliardi in Domini Iperbolici * Concetti di base: traiettorie, riflessioni, orbite periodiche. * Confronto con i biliardi euclidei. * Biliardi in Poligoni Iperbolici: * Flusso geodetico su superfici iperboliche. * Proprietà di ergodicità e mescolamento del flusso geodetico su varietà iperboliche (breve panoramica). * Collegamenti alle trasformazioni di scambio di intervallo e al flusso di Teichmüller. IV. Collegamenti al Principio Olografico * Introduzione al Principio Olografico: * Corrispondenza AdS/CFT (Panoramica Concettuale): Rilevanza della Geometria Iperbolica:
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
email: riccardo.re AT uninsubria.it Ricevimento per appuntamento
Corsi
Corsi
MATEMATICA
Laurea Magistrale
2 anni
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Persone
Persone
Docenti di ruolo di IIa fascia
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