Acquisizione del concetto di orbifold e suo utilizzo per un problema classico: la classificazione delle pavimentazioni del piano. Tutto ciò ha come obiettivo rebdere lo studente familiare con il moderno concetto di simmetria, importante in matematica, fisica, chimica, scienze dei materiali ecc.
Prerequisiti
Corsi di Geometria 1 e Geometria 2
Metodi didattici
Lezioni frontali, sessioni di esercizi di gruppo
Verifica Apprendimento
Esame orale con esposizione di argomenti scelti pertinenti al corso
Contenuti
Il percorso degli orbifold verso la simmetria.
Ripasso delle isometrie di piano, sfera e piano iperbolico. Gruppi discreti e domini fondamentali.
Definizione di orbifold: studio di un gruppo di simmetria tramite la mappa quoziente $M\rightarrow M/G$.
Struttura locale: formalizzazione dei "punti con simmetria".
Punti conici: simmetria rotazionale nel piano.
Rette di simmetria e vertici.
Topologia combinatoria: ripasso della caratteristica di Eulero standard $\chi = V - E + F$.
La caratteristica di Eulero degli orbifold ($\chi_{orb}$): assegnazione di pesi "frazionari" ai punti singolari. La formula di Riemann-Hurwitz per gli orbifold. Spazi di rivestimento e come $\chi$ scala con l'indice del sottogruppo. Il teorema magico di Conway.
Derivazione dei 17 gruppi di pavimentazioni del piano euclideo: il caso $\chi=0$. Classificazione sferica e iperbolica Il caso ellittico ($\chi > 0$): dimostrazione dell'esistenza di un numero finito di orbifold sferici. Derivazione dei gruppi di simmetria dei solidi platonici tramite $\chi_{orb}$. Il caso iperbolico ($\chi < 0$): dimostrazione dell'"esplosione" delle possibilità. Perché quasi ogni combinazione di singolarità può tassellare il piano iperbolico.
Orbifold buoni e cattivi. Perché alcuni orbifold non possono essere realizzati come quozienti di varietà.
Casi in cui il metodo degli orbifold fallisce: tassellature aperiodiche del piano. Esempio: la tassellatura di Penrose. La necessità di una "geometria non commutativa".
Bibliografia
1. Orbifold e segnature
Conway, J. H., Burgiel, H., & Goodman-Strauss, C. (2008). Le simmetrie delle cose.
Thurston, W. P. (1997). Geometria tridimensionale e topologia, Vol. 1. Princeton University Press.
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
ricevimento su appuntamento riccardo.re@uninsubria.it
