OBIETTIVI FORMATIVI. Il corso intende fornire una formazione teorica avanzata sulla teoria delle varietà algebriche complesse, attraverso un approccio basato sulla analisi complessa e la geometria differenziale. RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI. Lo studente sara’ in grado di orientarsi nella recente letteratura matematica sull’ argomento in oggetto. Le nozioni acquisite possono essere utili per una introduzione ad argomenti di ricerca attuali in geometria complessa o algebrica o in fisica teorica.
Prerequisiti
Geometria elementare delle superfici. Nozioni di base sulle varieta’ differenziali.
Metodi didattici
Lezioni frontali con coinvolgimento diretto degli studenti nella lettura di parti del testo di riferimento e sessioni di domande e risposte con il docente. Elaborazione comune di note condivise sugli argomenti del corso. Sviluppo a casa di dimostrazioni omesse in prima lettura.
Verifica Apprendimento
Lo studente a fine corso terra’ un seminario su un argomento concordato con il docente per la preparazione del quale si useranno in modo essenziale concetti e metodi sviluppati nel corso. Il voto finale verrà espresso in trentesimi, piu’ eventuale lode. Il punteggio massimo e’ ottenuto se lo studente, in seguito a domande del docente, dimostra di avere compreso non solo l’argomento del seminario, ma anche i concetti e i metodi usati per prapararlo, con tutte le eventuali dimostrazioni
Contenuti
1) Introduzione attraverso esempi di curve nel piano proiettivo complesso. Curve di genere basso, teorema di Bezout. 2) Introduzione alle varietà complesse o algebriche attraverso la teoria dei fasci. Varietà affini e proiettive. Campi vettoriali e forme differenziali. 3) Elementi di teoria dei fasci. 4) Coomologia dei fasci. Richiami su Teorema di De Rham, dualità di Poincarè, formule di punto fisso di Lefschetz. 5) Superfici di Riemann e i loro modelli proiettivi. 6) Elementi di teoria di Hodge per varietà complesse 7) Varietà di Kahler, introduzione. 8) Teoremi di Lefschetz debole e forte 9) Cohomologia dei fasci coerenti 10) Calcolo dei numeri di Hodge degli spazi proiettivi e delle ipersuperfici proiettive 11) Cenni a problemi aperti famosi, come ad es. la congettura di Hodge
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Il docente riceve gli studenti per chiarimenti e per aiutarli nello sviluppo del seminario finale, previo appuntamento e-mail riccardo.re@uninsubria.it