OBIETTIVI FORMATIVI Conoscenza della teoria di Galois e delle sue applicazioni.
RISULTATI DI APPRENDIMENTO ATTESI Al termine dell’insegnamento, lo studente sarà in grado di: - calcolare il gruppo di Galois di un polinomio o di un'estensione di campi data - ottenere informazioni su un'estensione di campi o su un polinomio a partire dal suo gruppo di Galois
Prerequisiti
Conoscenza delle strutture base dell'algebra e relative proprietà: gruppi, anelli, polinomi, campi. Conoscenza dei principali risultati dell'algebra lineare e del calcolo matriciale.
Metodi didattici
Lezioni frontali. La frequenza non è obbligatoria, tuttavia la presenza in aula è estremamente utile, dato che la partecipazione attiva alle lezioni facilita il processo di apprendimento.
Le lezioni si svolgono alla lavagna. La presentazione degli argomenti è sempre accompagnata da esercizi finalizzati alla comprensione e all’applicazione delle nozioni e dei risultati presentati. La soluzione degli esercizi è presentata talvolta immediatamente e talvolta in una lezione successiva in modo che gli studenti possano provare a risolvere l’esercizio in autonomia. Durante il corso (soprattutto verso il termine) verranno proposte anche sedute di esercizi di ricapitolazione, per abituare gli studenti a scegliere il metodo e il percorso risolutivo più adatto e mettere in collegamento risultati presentati in momenti differenti del corso.
Spesso gli esercizi proposti sono tratti da temi d’esame passati: tutti i temi d’esame passati, nonché una selezione di altri esercizi sono disponibili con le relative soluzioni sul sito del corso.
Verifica Apprendimento
Prova scritta individuale e prova orale.
La prova scritta è della durata di due ore e mezza ed è composta da due o tre esercizi divisi in sottoquesiti.
La prova orale si svolge immediatamente dopo lo scritto che consiste in un colloquio e comincia solitamente con la discussione dello scritto. Allo studente è poi richiesto di presentare alcuni dei risultati visti a lezione. Verrà valutata in particolare la capacità di presentare una dimostrazione in maniera completa e rigorosa e di applicare questi risultati a casi concreti.
Il superamento dell'esame e il voto finale (espresso in trentesimi) dipendono dall'esito del colloquio orale, oltre che dal voto dello scritto.
Contenuti
Costruzioni con riga e compasso. Campi di spezzamento di un polinomio. Radici multiple. Campi perfetti. (20 ore)
Il gruppo di Galois. La corrispondenza di Galois. Estensioni normali e separabili. (20 ore)
Gruppi finiti risolubili. Semplicità del gruppo alterno. Criterio di Galois per la risolubilità per radicali. Il gruppo di Galois come gruppo di permutazioni delle radici di un polinomio. Equazione generica di grado n. (20 ore)
Campi finiti. (4 ore)
Lingua Insegnamento
Inglese
Altre informazioni
Il docente è disponibile per rispondere a brevi domande, subito prima o subito dopo ciascuna lezione. Per spiegazioni individuali più approfondite, il docente riceve gli studenti su appuntamento che può essere fissato o direttamente al termine di una lezione o per email. Il sito del corso riporta varie informazioni utili e viene aggiornato regolarmente anche durante lo svolgimento del corso. Per maggiori dettagli consultare il sito del corso.